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résolu

Une culture de 4500 bactéries A augmente chaque semaine de 2,5% par rapport à la se- maine précédente. Une culture de 5000 bactéries B augmente de 140 bactéries par semaine. Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de bactéries A et vn le nombre de bactéries B au bout de n semaines. 1) Que vaut uo? Que vaut vo? 2) Calculer le nombre de bactéries A et le nombre de bactéries B au bout de 1 semaine, de 2 semaine et de 3 semaines. 3) Conjecturer et trouver une relation de récurrence entre et un+1 et un ,puis entre Vn+1 et Vn. 4) Déterminer au bout de combien de semaines le nombre de bactéries A dépasse le nombre de bactéries B. utiliser un tableur une calculatrice en mode Python

Répondre :

1) Pour trouver u₀ et v₀, vous pouvez utiliser les données fournies. Pour A, u₀ est la culture initiale de 4500 bactéries, et pour B, v₀ est la culture initiale de 5000 bactéries.

2) Pour calculer le nombre de bactéries après n semaines, utilisez les formules suivantes:
- Pour A, \( u_n = u_0 \times (1 + 0.025)^n \) (augmentation de 2,5% par semaine).
- Pour B, \( v_n = v_0 + 140n \) (augmentation de 140 bactéries par semaine).

3) Pour la relation de récurrence, observez comment chaque suite évolue d'une semaine à l'autre. Pour A, \( u_{n+1} = u_n \times (1 + 0.025) \), et pour B, \( v_{n+1} = v_n + 140 \).

4) Pour déterminer au bout de combien de semaines A dépasse B, résolvez \( u_n > v_n \).

Vous pouvez utiliser un tableur (Excel, Google Sheets) ou une calculatrice en mode Python pour effectuer ces calculs et suivre l'évolution au fil des semaines.
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