Réponse:
1) Pour calculer la limite de g(x) lorsque x tend vers 2+, nous pouvons substituer x par 2 dans l'expression de g(x). Cela donne :
lim x→2+ g(x) = lim x→2+ (3x-1)/(x-2)
Pour calculer cette limite, nous pouvons utiliser la règle de l'Hôpital, qui consiste à dériver le numérateur et le dénominateur séparément. En dérivant, nous obtenons :
lim x→2+ g(x) = lim x→2+ 3/(1) = 3
Pour calculer la limite de g(x) lorsque x tend vers +∞, nous pouvons observer que le terme dominant dans l'expression de g(x) est 3x/x. Donc, la limite est :
lim x→+∞ g(x) = 3
2) a) Pour montrer que g'(x) = (x-2)², nous devons dériver la fonction g(x). En utilisant la règle du quotient et la dérivation des fonctions polynomiales, nous obtenons :
g'(x) = [(3)(x-2) - (3x-1)(1)]/(x-2)²
= (3x-6 - 3x + 1)/(x-2)²
= -5/(x-2)²
b) Pour dresser le tableau de variation de g, nous devons étudier le signe de g'(x) sur l'intervalle ]2 ; +∞[. Nous remarquons que g'(x) est toujours négatif, donc g(x) est décroissante sur cet intervalle.
3) a) Pour montrer que g admet une fonction réciproque g-¹, nous devons montrer que g(x) est strictement monotone sur un intervalle J. Dans ce cas, l'intervalle J est ]2 ; +∞[.
b) Pour dresser le tableau de variation de g-¹, nous pouvons utiliser les informations du tableau de variation de g. Puisque g(x) est décroissante sur ]2 ; +∞[, g-¹(x) sera également décroissante sur l'intervalle d'image de g, que nous déterminerons dans
