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Réponse:
1. **Vérification de l'expression de la fonction :**
\( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{x}{\sqrt{x} + 1} \)
Pour \( x \in ]0; +\infty[ \):
\( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{x}{\sqrt{x} + 1} \)
\( = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{x(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \)
\( = \frac{\sqrt{x} - x(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \)
\( = \frac{1 - x + x}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \)
\( = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \)
\( = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \)
\( = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \)
\( = \frac{1 - \sqrt{x}}{x + 1} \)
Ainsi, \( f(x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{x + 1} \).
2. **Calcul des limites :**
\( \lim_{{x \to 0^+}} f(x) = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{1 - \sqrt{x}}{x + 1} \)
\( = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{(1 - \sqrt{x})(1 - \sqrt{x})}{(x + 1)(1 - \sqrt{x})} \)
\( = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{1 - 2\sqrt{x} + x}{(x + 1)(1 - \sqrt{x})} \)
\( = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{(1 - \sqrt{x})^2}{(x + 1)(1 - \sqrt{x})} \)
\( = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{1 - \sqrt{x}}{x + 1} = 1 \)
\( \lim_{{x \to +\infty}} f(x) = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{1 - \sqrt{x}}{x + 1} = 0 \)
La fonction \( f \) est continue sur \( ]0; +\infty[ \) et ses limites aux bornes sont finies.
3. **Étude de la dérivabilité et variations :**
a) \( f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)^2} < 0 \)
b) \( f'(x) < 0 \) pour \( x \in ]0; +\infty[ \).
c) Tableau de variation de \( f \):
\[
\begin{array}{c|cccc}
x & 0 & +\infty \\
\hline
f'(x) & & - \\
\hline
f(x) & \uparrow & \text{(minimum en } x = 1 \text{)} \\
\end{array}
\]
4. a) \( f(x) = 0 \) équivaut à \( 1 - \sqrt{x} = 0 \), donc \( x = 1 \).
b) \( f'(x) < 0 \) indique que la fonction est décroissante sur \( ]1; +\infty[ \).
c) \( f(x) < 0 \) sur \( ]1; +\infty[ \).
En conclusion, l'équation \( f(x) = 0 \) a une seule solution dans l'intervalle \( [1;2] \) qui est \( x = 1 \), et la fonction \( f \) est négative sur \( [1;+\infty[ \).
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