Réponse:
Exercice 2:
1) Pour vérifier que (3 + √3) = 12 + 6√3, nous devons simplifier les deux expressions et les comparer.
Simplifions d'abord l'expression de gauche:
3 + √3 = 3 + √3 (aucune simplification possible)
Maintenant, simplifions l'expression de droite:
12 + 6√3 = 6(2 + √3) (factorisation en utilisant la distributivité)
= 6√3 + 12 (réarrangement des termes)
Nous pouvons voir que les expressions de gauche et de droite ne sont pas équivalentes, donc (3 + √3) n'est pas égal à 12 + 6√3.
2) Étant donné que nous avons déjà montré que (3 + √3) n'est pas égal à 12 + 6√3, il n'est pas possible de déduire que 12 + 6√3 = 3 + √3.
3) Pour rendre rationnel le dénominateur du nombre, nous devons éliminer la racine carrée du dénominateur.
4) Étant donné que nous n'avons pas pu déduire que 12 + 6√3 = 3 + √3, nous ne pouvons pas en déduire la valeur de v6v3 + 12x.
Exercice 3:
1) Pour montrer que -2 < x + y < 5 et -24 < xy < -2, nous devons utiliser les inégalités données pour x et y.
Étant donné que 2 < x < 6 et -4 < y < -1, nous pouvons ajouter les inégalités pour obtenir:
2 + (-4) < x + y < 6 + (-1)
-2 < x + y < 5
De plus, nous pouvons multiplier les inégalités pour obtenir:
2 * (-4) < x * y < 6 * (-1)
-8 < xy < -6
Donc, nous avons -2 < x + y < 5 et -8 < xy < -6.
2) Nous ne pouvons pas déduire la comparaison entre x + y et y en utilisant seulement les informations données.
3) a) Pour comparer les nombres 6√2 et √73, nous devons les simplifier.
6√2 est déjà simplifié.
Pour simplifier √73, nous devons trouver les facteurs premiers de 73. Après avoir effectué cette opération, nous constatons que 73 est un nombre premier, donc √73 ne peut pas être simplifié davantage.
Donc, 6√2 < √73.
b) Pour déduire une comparaison entre -6√2 + 3 et -√73 + 3, nous devons simplifier les deux expressions.
-6√2 + 3 est déjà simplifié.
Pour simplifier -√73 + 3, nous devons simplifier √73 en premier. Comme mentionné précédemment, √73 ne peut pas être simplifié davantage.
Donc, -6√2 + 3 < -√73 + 3.
