Répondre :
Réponse :
Soit f la fonction definie sur R par f(x) =- x²+ 5x - 4. On note C la représentation graphique de la fonction f dans le plan.
1. Etudier les variations de la fonctions f.
f(x) = - x² + 5x - 4
α = - b/2a = - 5/-2 = 5/2
β = f(α) = f(5/2) = - (5/2)² + 5*(5/2) - 4
= - 25/4 + 25/2 - 4
= - 25/4 + 50/4 - 16/4
= 25/4 - 16/4
= 9/4
donc f(x) = a(x - α)²+ β forme canonique de f
et le sommet de la courbe de f est S(α ; β)
donc f(x) = -(x - 5/2)² + 9/4
x - ∞ 5/2 + ∞
f(x) - ∞→→→→→→→→→→ 9/4 →→→→→→→→→→→ - ∞
croissante décroissante
2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de C avec l'axe des abscisses.
f(x) = 0 ⇔ - ((x - 5/2)² - 9/4) = 0 IDR
(x - 5/2 + 3/2)(x - 5/2 - 3/2) = 0
(x - 1)(x - 4) = 0
x = 1 ⇒ (1 ; 0)
x = 4 ⇒ (4 ; 0)
3. Soit p un nombre réel. Déterminer les valeurs de p pour lesquelles la courbe C et la droite d d'équation y = x + p ont deux points d'intersection.
f(x) = y ⇔ - x² + 5x - 4 = x + p ⇔ - x² + 4x - (4 + p) = 0
Δ = 16 - 4(4 + p) > 0 ⇔ 16 - 16 - 4p > 0 ⇔ - 4p > 0 ⇔ p < 0
donc p ∈ ]- ∞ ; 0[ ⇒ C et la droite ont deux points d'intersection
4. Déterminer les coordonnées exactes des points d'ordonnées 1 de la courbe C.
f(x) = 1 ⇔ - x² + 5x - 4 = 1 ⇔ - x² + 5x - 5 = 0
Δ = 25 - 20 = 5 > 0 ⇒ 2 racines distinctes
x1 = (- 5 +√5)/-2 = (5 - √5)/2 ⇒ (( 5-√5)/2 ; 1)
x2 = (-5 - √5)/-2 = (5+√5)/2 ⇒ ((5+√5)/2 ; 1)
Explications étape par étape :
Merci d'avoir visité notre site Web dédié à Mathématiques. Nous espérons que les informations partagées vous ont été utiles. N'hésitez pas à nous contacter si vous avez des questions ou besoin d'assistance. À bientôt, et pensez à ajouter ce site à vos favoris !