Réponse :
**1. Placement des points A, B, C, D et E**
Voici un repère orthogonal d'unité 1 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonnée :
[Image of Repère orthogonal]
Les points A, B, C, D et E sont placés comme suit :
* A (-1, -4)
* B (0, 2)
* C (1, 0)
* D (2, -4)
* E (3, 2)
**2. Calcul de la dérivée de la fonction f**
La dérivée de la fonction f est donnée par :
```
f'(x) = 3x² - 6x
```
**3. Détermination des équations des tangentes aux points A, B, C, D et E**
L'équation d'une tangente à la courbe représentative d'une fonction f en un point d'abscisse x est de la forme :
```
y = m(x - x₀) + y₀
```
où m est la pente de la tangente et (x₀, y₀) est le point d'intersection de la tangente avec la courbe.
**A. Point A**
L'abscisse du point A est x₀ = -1.
La dérivée de la fonction f en x₀ est f'(-1) = -9.
La pente de la tangente est donc m = f'(-1) = -9.
La coordonnée y du point A est y₀ = f(-1) = -4.
L'équation de la tangente au point A est donc :
```
y = -9(x + 1) - 4
```
**B. Point B**
L'abscisse du point B est x₀ = 0.
La dérivée de la fonction f en x₀ est f'(0) = -6.
La pente de la tangente est donc m = f'(0) = -6.
La coordonnée y du point B est y₀ = f(0) = 2.
L'équation de la tangente au point B est donc :
```
y = -6x + 2
```
**C. Point C**
L'abscisse du point C est x₀ = 1.
La dérivée de la fonction f en x₀ est f'(1) = -3.
La pente de la tangente est donc m = f'(1) = -3.
La coordonnée y du point C est y₀ = f(1) = 0.
L'équation de la tangente au point C est donc :
```
y = -3(x - 1)
```
**D. Point D**
L'abscisse du point D est x₀ = 2.
La dérivée de la fonction f en x₀ est f'(2) = -12.
La pente de la tangente est donc m = f'(2) = -12.
La coordonnée y du point D est y₀ = f(2) = -4.
L'équation de la tangente au point D est donc :
```
y = -12(x - 2) - 4
```
**E. Point E**
L'abscisse du point E est x₀ = 3.
La dérivée de la fonction f en x₀ est f'(3) = 9.
La pente de la tangente est donc m = f'(3) = 9.
La coordonnée y du point E est y₀ = f(3) = 2.
L'équation de la tangente au point E est donc :
```
y = 9(x - 3) + 2
```
**4. Tracé des tangentes et esquisse de la courbe**
Voici le tracé des tangentes aux points A, B, C, D et E :
[Image of Tangentes à la courbe C]
Voici l'esquisse de la courbe C :
[Image of Courbe C]
La courbe C est une parabole. Les tangentes sont des droites qui ne croisent la courbe qu'en un seul point.
Explications étape par étape :
