Réponse :
Explications étape par étape :
Exercice 3:
Compléter le tableau des fonctions et de leurs dérivées:
Fonction Fonction dérivée
f(x) = 4x-7 f'(x) = 4
f(x) = x²-3x+1 f'(x) = 2x-3
f(x) = 2 f'(x) = 0
f(x) = 4x−5+2x³ f'(x) = 12x²+4
f(x) = -2x f'(x) = -2
f(x) = 4-3x⁻¹ f'(x) = 3/x²
Calcul des dérivées pour f'(2), f'(0), f'(-2) et f'(-1):
x f'(x)
2 4
0 0
-2 -4
-1 -3
(2) f'(a) - la dérivée de la fonction f(x) au point a dépendra de la fonction spécifique f(x). Pour trouver f'(a), il faudrait connaître la fonction f(x) correspondante.
Exercice 4:
Un véhicule décrit un mouvement rectiligne. La distance parcourue depuis le temps t = 0 jusqu'au temps t, en secondes, est donnée par la fonction d(t) = t²+5t.
Calcul du taux de variation de la distance entre les temps t et t + h: Le taux de variation est la dérivée de la fonction d(t). Donc, la dérivée de d(t) est d'(t) = 2t + 5. Le taux de variation de la distance entre les temps t et t + h est donc d'(t) = 2t + 5.
Calcul de la vitesse instantanée à t = 0 et t = 10: La vitesse instantanée est donnée par la dérivée de la fonction d(t). À t = 0, la vitesse instantanée est d'(0) = 2(0) + 5 = 5 m/s. À t = 10, la vitesse instantanée est d'(10) = 2(10) + 5 = 25 m/s.
Exercice 5:
On considère les fonctions f₁(x) = -x²+6x-2 et f₂(x) = x²+2x.
Pour montrer que les paraboles C₁ et C₂ sont tangentes, nous devons trouver un point commun et une tangente commune à ces deux paraboles.
Pour trouver le point commun, nous égalisons les deux fonctions et résolvons l'équation:
-x²+6x-2 = x²+2x
2x²-4x-2 = 0
En résolvant cette équation, nous obtenons les valeurs de x pour lesquelles les fonctions se croisent.
Ensuite, pour montrer qu'il y a une tangente commune en ce point, nous devons démontrer que les dérivées des deux fonctions sont égales en ce point.
En dérivant f₁(x) et f₂(x), nous obtenons:
f₁'(x) = -2x+6
f₂'(x) = 2x+2
Nous égalisons les dérivées et résolvons l'équation:
-2x+6 = 2x+2
4x = 4
x = 1
Donc, les fonctions f₁(x) et f₂(x) se croisent en x = 1.
Pour vérifier si elles ont une tangente commune en ce point, nous pouvons vérifier si les dérivées en ce point sont égales:
f₁'(1) = -2(1)+6 = 4
f₂'(1) = 2(1)+2 = 4
Les dérivées en x = 1 sont égales à 4, donc les paraboles C₁ et C₂ sont tangentes en ce point.
