Réponse :
Explications étape par étape :
Pour démontrer que 1/x + 1/y + 1/z = 0, nous pouvons utiliser l'identité suivante :
(xy + xz + yz)(1/x + 1/y + 1/z) = x/y + x/z + y/x + y/z + z/x + z/y.
Dans notre cas, nous avons xy + xz + yz = 0, donc l'expression devient :
0(1/x + 1/y + 1/z) = x/y + x/z + y/x + y/z + z/x + z/y.
Comme le produit de 0 par n'importe quel nombre est toujours égal à 0, cela signifie que l'expression entière doit être égale à 0.
Donc, nous avons :
0 = x/y + x/z + y/x + y/z + z/x + z/y.
Maintenant, nous pouvons réarranger les termes pour obtenir :
0 = (x + y + z) * (1/x + 1/y + 1/z) - 3.
Puisque nous avons déjà xy + xz + yz = 0, cela signifie que x + y + z = 0. Donc, nous pouvons substituer cette valeur :
0 = 0 * (1/x + 1/y + 1/z) - 3.
Cela simplifie l'expression à :
0 = -3.
Comme -3 est différent de 0, cela signifie que l'équation ne peut pas être satisfaite.
Ainsi, nous pouvons conclure que 1/x + 1/y + 1/z ne peut pas être égal à 0 lorsque xy + xz + yz = 0.
