Réponse :
Explications étape par étape :
Exercice 1
Pour résoudre cet exercice, nous allons suivre les différentes étapes demandées.
Pour x = 2, nous devons calculer les distances AD et AB, puis l'aire du rectangle ABCD.
AD = 2x + 4 = 2 * 2 + 4 = 8
AB = -1/2x + 2 = -1/2 * 2 + 2 = 1
L'aire du rectangle ABCD est donnée par la formule A = longueur * largeur. Donc, A = AD * AB = 8 * 1 = 8.
Donc, pour x = 2, les distances AD et AB sont respectivement égales à 8 et 1, et l'aire du rectangle ABCD est égale à 8.
Si x = -3, nous devons déterminer si le rectangle ABCD existe. Pour cela, nous devons vérifier si les distances AD et AB sont positives.
AD = 2x + 4 = 2 * (-3) + 4 = -2
AB = -1/2x + 2 = -1/2 * (-3) + 2 = 3/2 + 2 = 7/2
Comme AD est négatif, le rectangle ABCD n'existe pas pour x = -3.
a. Pour résoudre l'inéquation 2x + 4 ≥ 0, nous devons trouver les valeurs de x pour lesquelles cette inéquation est vraie.
2x + 4 ≥ 0
2x ≥ -4
x ≥ -2
Donc, les valeurs de x pour lesquelles l'inéquation 2x + 4 ≥ 0 est vraie sont x ≥ -2.
b. Pour résoudre l'inéquation -1/2x + 2 ≥ 0, nous devons trouver les valeurs de x pour lesquelles cette inéquation est vraie.
-1/2x + 2 ≥ 0
-1/2x ≥ -2
x ≤ 4
Donc, les valeurs de x pour lesquelles l'inéquation -1/2x + 2 ≥ 0 est vraie sont x ≤ 4.
c. En déduire les valeurs de x pour lesquelles le rectangle ABCD "existe".
Pour que le rectangle ABCD "existe", les distances AD et AB doivent être positives. Donc, les valeurs de x pour lesquelles le rectangle ABCD "existe" sont -2 ≤ x ≤ 4.
Dans la suite de l'exercice, nous travaillons avec x ∈ [-2; 4].
a. Pour démontrer que l'aire du rectangle ABCD est égale à A(x) = -x^2 + 2x + 8, nous devons utiliser la formule de l'aire du rectangle (A = longueur * largeur) et substituer les valeurs de AD et AB en fonction de x.
AD = 2x + 4
AB = -1/2x + 2
Donc, l'aire du rectangle ABCD est A(x) = (2x + 4) * (-1/2x + 2) = -x^2 + 2x + 8.
b. Pour calculer A(-1), nous substituons x par -1 dans l'expression de A(x).
A(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 8 = -1 + (-2) + 8 = 5
L'aire du rectangle ABCD pour x = -1 est égale à 5. Cela signifie que lorsque x = -1, l'aire du rectangle ABCD est maximale.
a. Le tableau de valeurs est le suivant:
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
A(x) 12 10.5 9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4
b. Dans un repère orthogonal (2cm pour une unité en abscisse et 1 cm pour une unité en ordonnée), nous construisons la représentation graphique de la fonction A.
c. D'après le tableau de valeurs et la représentation graphique, nous pouvons voir que l'aire du rectangle ABCD semble être la plus grande pour x = -1. L'aire maximale est de 5.
a. Pour démontrer que l'aire du rectangle ABCD est aussi égale à A(x) = 9 - (x - 1)^2, nous devons développer l'expression de A(x) = -x^2 + 2x + 8 et simplifier.
A(x) = -x^2 + 2x + 8
= -(x^2 - 2x - 8)
= -(x - 1)^2 + 9
Donc, l'aire du rectangle ABCD est aussi égale à A(x) = 9 - (x - 1)^2.
b. À l'aide de la question précédente, nous avons déjà trouvé que le maximum de la fonction A est atteint pour x = -1, et l'aire maximale est de 5.
