Réponse:
1. Exprimer \(U_{n+1}\) en fonction de \(n\):
\[U_{n+1} = 2(n+1)^2 + 3(n+1) - 1\]
Développons cela:
\[U_{n+1} = 2n^2 + 4n + 2 + 3n + 3 - 1\]
Regroupons les termes:
\[U_{n+1} = 2n^2 + 3n - 1 + 4n + 4\]
\[U_{n+1} = U_n + 4n + 4\]
2. Exprimer \(V_n\) en fonction de \(n\):
\[V_n = U_{n+1} - U_n\]
Substituons la valeur de \(U_{n+1}\) obtenue dans la première question:
\[V_n = (U_n + 4n + 4) - U_n\]
Regroupons les termes:
\[V_n = 4n + 4\]
3. Montrer que, pour tout \(n\), \(V_{n+1} - V_n = 4\):
\[V_{n+1} - V_n = (4(n+1) + 4) - (4n + 4)\]
Simplifions:
\[V_{n+1} - V_n = 4\]
4. En déduire la nature de la suite \((V_n)\):
La suite \((V_n)\) est une suite constante égale à 4.
