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Réponse:
Bien sûr, je vais vous guider à travers les étapes de résolution de cet exercice.
1. **Étude de la fonction h(x) = x(2√x - 3) :**
a. La limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ est ∞, ce qui suggère une branche infinie ascendante de (C₂).
b. La branche infinie de (C₂) au voisinage de +∞ est ascendante.
2. **Dérivabilité de f à droite en 0 :**
a. Étudions la dérivabilité de f à droite en 0. La dérivée de f est f'(x) = (3√x - 4)/(√x)^2.
b. La dérivabilité à droite en 0 indique que la tangente à (C₁) en x = 0 n'est pas verticale.
3. **Calcul des limites et dérivée première :**
a. Lim f(x) lorsque x → +∞ = +∞, et lim x→+∞ (3(x-1))/(√x+1) = 0.
b. Montrez que f'(x) = (3√x - 4)/(√x)^2 pour x ∈ ]0; +∞[.
4. **Signe de f'(x) et variations de f :**
a. Étudiez le signe de f'(x) pour établir le tableau de variations de f.
5. **Équation de la tangente :**
a. Utilisez f'(x) pour trouver la pente de la tangente en x = 4. L'équation de la tangente (T) est y = f'(4)(x - 4) + f(4).
6. **Solution de f(x) = 0 et tracé de (Cf) :**
a. Montrez que f(x) = 0 a une solution unique a dans l'intervalle ]2; 2.5[].
b. Tracez la courbe (Cf) dans un repère orthonormé.
7. **Calcul de f''(2) :**
Calculez la dérivée seconde f''(2).
8. **Fonction g(x) :**
a. Montrez que g admet une fonction réciproque g⁻¹ définie sur un intervalle J.
b. Montrez que g est dérivable en 0 et calculez (g⁻¹)'(0), sachant que g(9/4) = 0.
N'hésitez pas à demander des clarifications ou des détails supplémentaires pour chaque étape.
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