Bonjour
Soit P(x) = x³ - 9x² + 26x - 24. Pour déterminer a+b+c, ab+ac+bc et abc, nous pouvons utiliser les relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme.
Nous savons que si r1, r2 et r3 sont les racines de P(x), alors:
a = r1 + r2 + r3
b = r1r2 + r1r3 + r2r3
c = r1r2r3
Pour trouver les racines de P(x), nous pouvons utiliser la méthode de Cardan-Tartaglia. Cependant, cette méthode peut être assez longue et fastidieuse. Heureusement, nous pouvons utiliser une astuce pour trouver les racines plus rapidement.
Nous pouvons remarquer que P(3) = 0. Cela signifie que (x - 3) est un facteur de P(x). Nous pouvons donc diviser P(x) par (x - 3) pour obtenir un polynôme de degré 2. Ensuite, nous pouvons utiliser la formule quadratique pour trouver les deux autres racines.
En divisant P(x) par (x - 3), nous obtenons:
P(x) = (x - 3)(x² - 6x + 8)
Les racines de ce polynôme sont 3, 2 et 4. Par conséquent:
a = r1 + r2 + r3 = 3 + 2 + 4 = 9
b = r1r2 + r1r3 + r2r3 = (3 x 2) + (3 x 4) + (2 x 4) = 26
c = r1r2r3 = 3 x 2 x 4 = 24
Ainsi, nous avons déterminé que a+b+c = 9, ab+ac+bc = 26 et abc = 24.
