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résolu

Exercice 1: Voici un programme de calcul Choisir un nombre Multiplier ce nombre par 4 Ajouter 8 Multiplier le résultat par 2 1) Vérifier que si on choisit le nombre -1, ce programme donne 8 comme résultat. 2) Le programme donne 30 comme résultat, quel est le nombre choisi au départ ? Dans la suite de l'exercice, on nomme x le nombre choisi au départ. 3) L'expression A=2(4x+8) donne le résultat du programme de calcul précédent pour un nombre x donné. On pose B=(4+x)²-x². Prouver que les expressions A et B sont égales pour toutes les valeurs de x. 4) Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées. ● Affirmation 1: Ce programme donne un résultat positif pour toutes les valeurs de x. Affirmation 2 : Si le nombre x choisi est un nombre entier le résultat obtenu est un multiple de 8.​

Répondre :

ETHAN123456EN

Réponse :

Bonsoir,

1) Pour vérifier si le programme donne 8 comme résultat lorsque le nombre -1 est choisi, on va suivre les étapes du programme :

  • Choisir le nombre : -1
  • Multiplier ce nombre par 4 : 4 × (-1) = -4
  • Ajouter 8 : -4 + 8 = 4
  • Multiplier le résultat par 2 : 4 × 2 = 8

Donc en suivant les étapes du programme avec le nombre -1, le résultat est 8. Le programme est correct pour le cas donnée

2) Pour déterminer le nombre choisi au départ si le résultat final est 30, on va inverser les étapes du programme :

  • Diviser le résultat par 2 : 30 ÷ 2 = 15
  • Soustraire 8 : 15 - 8 = 7
  • Diviser le résultat par 4 : 7 ÷ 4 = 1,75

Ainsi le nombre choisi au départ est 1,75

3) Pour prouver que les expressions A et B sont égales pour toutes les valeurs de [tex]x[/tex], on va développer et simplifier les expressions

Expression A

  • [tex]A=2(4x+8)=8x+16[/tex]

Expression B

  • [tex]B=(4+x)^2-x^2=(4+x)(4+x)-x^2=16+4x+4x+x^2-x^2=8x+16[/tex]

On peut voir que A = B pour toutes les valeurs de [tex]x[/tex]

4) Affirmation 1 : Ce programme donne un résultat positif pour toutes les valeurs de x

C'est Faux. Prenons l'exemple de x = -3

  • -3 × 4 = -12
  • -12 + 8 = -4
  • -4 × 2 = -8

Le résultat final est -8, qui n'est pas positif. Donc le programme ne donne pas toujours un résultat positif pour toutes les valeurs de x

Affirmation 2 : Si le nombre x choisi est un nombre entier, le résultat obtenu est un multiple de 8

C'est vrai. On va prouver cela en généralisant le programme avec un nombre entier x

  • 4x : le produit de x par 4, qui est un multiple de 4
  • 4x + 8 : en ajoutant 8 à un multiple de 4, on obtient un nombre qui est toujours divisible par 4
  • (4x+8) × 2 : en multipliant par 2, le résultat reste un multiple de 4

Ainsi si x est un nombre entier, le résultat final est un multiple de 4 et par extension un multiple de 8.

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