Bonjour! Pour résoudre ce problème:
1. Pour déterminer \( f'(t) \), il faut dériver la fonction \( f(t) = 0,02t^3 - 0,48t^2 + 2,88t \).
\[ f'(t) = \frac{d}{dt} (0,02t^3 - 0,48t^2 + 2,88t) \]
\[ f'(t) = 0,06t^2 - 0,96t + 2,88 \]
Maintenant, vérifions si \( f'(t) = (0,06t - 0,24)(t - 12) \).
En développant l'expression \( (0,06t - 0,24)(t - 12) \), on obtient :
\[ f'(t) = 0,06t^2 - 0,72t - 0,24t + 2,88 \]
\[ f'(t) = 0,06t^2 - 0,96t + 2,88 \]
Donc, \( f'(t) = (0,06t - 0,24)(t - 12) \), comme demandé.
2. Pour étudier le signe de \( f'(t) \), il faut factoriser \( f'(t) = 0,06t^2 - 0,96t + 2,88 \).
\( f'(t) = 0,06(t^2 - 16t + 48) = 0,06(t - 4)(t - 12) \).
\( f'(t) \) est positif lorsque \( t < 4 \) ou lorsque \( t > 12 \).
\( f'(t) \) est négatif lorsque \( 4 < t < 12 \).
Donc, \( f(t) \) est croissante sur \( [0; 4] \), décroissante sur \( [4; 12] \), et croissante à nouveau sur \( [12; +\infty] \).
3. La substance présente dans le sang commence à diminuer lorsque \( f(t) \) commence à décroître. Donc, cela se produit entre \( t = 4 \) et \( t = 12 \) heures.
Si vous avez besoin de plus d'explications sur l'une des étapes, n'hésitez pas à demander!
