Réponse :
Explications étape par étape :
Pour démontrer que
�
�
+
�
�
=
0
BC+EF=0, nous allons utiliser les relations données sur les points
�
E et
�
F, ainsi que les propriétés des vecteurs dans un triangle.
Soit
�
�
+
�
�
=
0
AE+AB=0 et
�
�
+
�
�
=
0
AF+AC=0. Cela signifie que les vecteurs
�
�
AE et
�
�
AF sont égaux à l'opposé des vecteurs
�
�
AB et
�
�
AC, respectivement.
Écrivons ces égalités sous forme vectorielle :
�
�
=
−
�
�
AE=−AB
�
�
=
−
�
�
AF=−AC
Maintenant, considérons le vecteur
�
�
EF qui est la différence entre les vecteurs
�
F et
�
E, c'est-à-dire
�
�
=
�
−
�
EF=F−E. En utilisant les relations précédentes, nous pouvons exprimer
�
�
EF en termes de
�
�
AB et
�
�
AC :
�
�
=
�
−
�
=
�
�
−
�
�
=
(
−
�
�
)
−
(
−
�
�
)
=
�
�
−
�
�
EF=F−E=AF−AE=(−AC)−(−AB)=AB−AC
Maintenant, observons le vecteur
�
�
BC. Par la relation vectorielle dans un triangle, nous savons que
�
�
=
−
�
�
+
�
�
BC=−AB+AC.
Ajoutons maintenant
�
�
BC et
�
�
EF :
�
�
+
�
�
=
(
−
�
�
+
�
�
)
+
(
�
�
−
�
�
)
BC+EF=(−AB+AC)+(AB−AC)
Les termes
−
�
�
−AB et
�
�
AB se cancelent, de même que les termes
−
�
�
−AC et
�
�
AC, laissant
�
�
+
�
�
=
0
BC+EF=0.
Ainsi, nous avons montré que
�
�
+
�
�
=
0
BC+EF=0 en utilisant les relations données sur les points
�
E et
�
F et les propriétés des vecteurs dans un triangle.
