Réponse :
Explications étape par étape :
L'inégalité à démontrer est la suivante pour tout
�
≠
0
x
=0:
∣
�
∣
<
�
2
+
1
<
∣
�
∣
+
1
2
∣
�
∣
∣x∣<
x
2
+1
<∣x∣+
2
1
∣x∣
Commençons par la première partie de l'inégalité:
∣
�
∣
<
�
2
+
1
∣x∣<
x
2
+1
Élevons chaque côté au carré (en notant que
�
x n'est pas égal à zéro, donc le carré de
∣
�
∣
∣x∣ est équivalent à
�
2
x
2
):
�
2
<
�
2
+
1
x
2
<x
2
+1
Cela est toujours vrai, car on a simplement ajouté 1 des deux côtés de l'inégalité initiale.
Passons maintenant à la deuxième partie de l'inégalité:
�
2
+
1
<
∣
�
∣
+
1
2
∣
�
∣
x
2
+1
<∣x∣+
2
1
∣x∣
Élevons chaque côté au carré à nouveau:
�
2
+
1
<
(
∣
�
∣
+
1
2
∣
�
∣
)
2
x
2
+1<(∣x∣+
2
1
∣x∣)
2
Simplifions le côté droit:
�
2
+
1
<
�
2
+
1
4
�
2
+
1
4
�
2
x
2
+1<x
2
+
4
1
x
2
+
4
1
x
2
�
2
+
1
<
9
4
�
2
x
2
+1<
4
9
x
2
Soustrayons
�
2
x
2
de chaque côté:
1
<
5
4
�
2
1<
4
5
x
2
Divisons chaque côté par
5
4
4
5
(en notant que
5
4
>
0
4
5
>0):
4
5
<
�
2
5
4
<x
2
En prenant la racine carrée des deux côtés (en notant que
�
x est différent de zéro, donc
�
2
x
2
est positif), nous obtenons:
4
5
<
∣
�
∣
5
4
<∣x∣
Ainsi, nous avons démontré les deux parties de l'inégalité. En combinant les deux parties, nous avons:
2
5
<
∣
�
∣
<
3
2
∣
�
∣
5
2
<∣x∣<
2
3
∣x∣
Cela confirme que l'inégalité initiale
∣
�
∣
<
�
2
+
1
<
∣
�
∣
+
1
2
∣
�
∣
∣x∣<
x
2
+1
<∣x∣+
2
1
∣x∣ est vraie pour tout
�
≠
0
x
=0.
