Pour vérifier que f(1) = g(1), nous devons substituer x = 1 dans les expressions de f(x) et g(x) :
f(1) = 2(1) = 2
g(1) = √1 + 3 = √4 = 2
Nous constatons que f(1) est égal à g(1). Graphiquement, cela signifie que les courbes des fonctions f et g se croisent au point (1, 2) dans le repère orthonormé.
Pour dresser le tableau de variations de f et g, nous devons étudier les signes de leurs dérivées respectives. Puisque f(x) = 2x, la dérivée de f est f'(x) = 2. Comme g(x) = √x + 3, la dérivée de g est g'(x) = 1/(2√x).
Le tableau de variations de f est le suivant :
x | -∞ | +∞
f'(x) | + | +
Le tableau de variations de g est le suivant :
x | -∞ | -3 | +∞
g'(x) | - | + | +
Pour construire les courbes dans un repère orthonormé, nous utilisons les informations du tableau de variations et les points d'intersection (1, 2) des courbes f et g. Pour résoudre graphiquement l'inéquation f(x) ≥ g(x), nous devons trouver les valeurs de x pour lesquelles la courbe de f est située au-dessus de la courbe de g. Pour déterminer graphiquement l'intervalle [3, +∞), nous devons trouver les valeurs de x pour lesquelles la courbe de f est située à droite du point d'intersection (1, 2).
Pour déterminer le domaine de définition de fog, nous devons trouver les valeurs de x pour lesquelles les fonctions f et g sont définies. Étudier les variations de la fonction fog à partir des variations des fonctions f et g sur [3, +∞) signifie que nous devons observer comment les variations de f et g affectent les variations
