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résolu

On note 7, la température des gâteaux en degré Celsius, au bout de n minutes après leur sortie du congélateur; ainsi To
-19.
On admet que pour modéliser l'évolution de la température, on doit avoir la relation suivante
1. Justifier que, pour tout entier n, on a T-10,94 T +1,5
2. Calculer Tj et 7₂. On donnera des valeurs arrondies au dixième.
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a T, 25.
En revenant à la situation étudiée, ce résultat était-il prévisible?
4. Étudier le sens de variation de la suite (Tn).
5. Démontrer que la suite (7) est convergente.
6. On pose pour tout entier naturel n. U, T, -25.
(a) Montrer que la suite (UA) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme Uo.
(b) En déduire que pour tout entier naturel n, T-44 x 0,94" +25.
(c) En déduire la limite de la suite (T). Interpréter ce résultat dans le contexte de la situation étudiée.
7. (a) Le fabricant conseille de consommer les gâteaux au bout d'une demi-heure à température ambiante après leur
sortie du congélateur.
Pour tout entier naturel n. Tn-1-T₁-0,06x (T-25).
Quelle est alors la température atteinte par les gâteaux? On donnera une valeur arrondie à l'entier le plus proche.
(b) Cécile est une habituée de ces gâteaux, qu'elle aime déguster lorsqu'ils sont encore frais, à la température de 10°C.
Donner un encadrement entre deux entiers consécutifs du temps en minutes après lequel Cécile doit déguster
son gâteau.
(c) Le programme suivant, écrit en langage Python, doit renvoyer après son exécution la plus petite valeur de l'entier
n pour laquelle T> 10.
def seuil (
n=0
T=
while T....
T=
n=n+1
return.....
Recopier ce programme sur la copie et
compléter les lignes incomplètes afin
que le programme renvoie la valeur at-
tendue.

On Note 7 La Température Des Gâteaux En Degré Celsius Au Bout De N Minutes Après Leur Sortie Du Congélateur Ainsi To 19 On Admet Que Pour Modéliser Lévolution D class=

Répondre :

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1. Pour justifier l'inéquation \(T_{n+1} - 10,94 T_n + 1,5\), vous devrez probablement fournir plus d'informations, car il semble manquer des détails dans la question.

2. Pour calculer \(T_j\) et \(T_2\), vous utiliserez la relation donnée dans l'énoncé en fonction du temps \(n\) et des valeurs de \(T_0\).

3. Pour démontrer par récurrence que \(T_n \geq 25\) pour tout entier naturel \(n\), vous devrez prouver pour \(n = 0\) (initialisation) et ensuite montrer que si l'inégalité est vraie pour \(n = k\), alors elle est aussi vraie pour \(n = k+1\).

4. Pour étudier le sens de variation de la suite \((T_n)\), vous pouvez examiner le signe de la différence \(T_{n+1} - T_n\).

5. Pour démontrer que la suite \((T_n)\) est convergente, vous pouvez montrer qu'elle est à la fois majorée et minorée, ce qui permet de conclure par le théorème de convergence des suites monotones.

6. Pour montrer que \((U_n)\) est une suite géométrique, vous devez prouver que \(U_{n+1}/U_n\) est constante. Ensuite, utilisez cette propriété pour montrer que \(T_n = -44 \times 0,94^n + 25\).

7. (a) Utilisez l'expression donnée pour \(T_n\) après une demi-heure pour calculer la température. (b) Trouvez le temps nécessaire pour que la température atteigne 10°C. (c) Pour le programme Python, complétez les lignes manquantes avec la logique nécessaire pour trouver la plus petite valeur de \(n\) pour laquelle \(T > 10\).

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