Réponse :
Bonjour
La fonction h(x) = (x²) / (x² + 10) est dérivable sur IR
h (x) est de la forme u(x)/v(x)
la dérivée h'(x) est de la forme :
(u'(x) × v(x) - u(x) × v'(x) ) / v²(x)
soit u(x) = x² et v(x) = x² + 10
on a donc u'(x) = 2x et v'(x) = 2x
on a donc
h'(x) = [ 2x (x² + 10 ) - (x²) (2x) ] / (x² + 10)²
h'(x) = [ 2x³ + 20x - 2x³] / (x² + 10)²
h'(x) = 20 x/ (x² + 10)²
Développons (x² + 10)²
(x² + 10)² = (x²)² + 2 × x² × 10 + 10² = x⁴ + 20x² + 100
on a donc
h'(x) = 20 × x / (x⁴ + 20x² + 100)
h' s'annule pour :
20 x = 0 car x⁴ + 20x² + 100 > sur IR
donc pour x = 0
Tableau de variation de h
- ∞ 0 +∞
h' - ⊕ +
h h décroissante h dcroissante
h(0) = 0
