Réponse:
1. **Produit des racines :** Si \(P(x) = ax^2 + bx + c\) a deux racines réelles distinctes, alors ces racines peuvent être notées \(x_1\) et \(x_2\). Le produit des racines est donné par \(\frac{c}{a}\), ce qui signifie \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\).
2. **Racine entière :** Si \(x\) est une racine entière de \(P(x)\), cela signifie que \(P(x) = 0\). En utilisant le résultat précédent (\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)), si \(x\) est une racine entière, alors \(x \cdot x_2 = \frac{c}{a}\), et en simplifiant, \(x_2 = \frac{c}{ax}\).
3. **Équation \(x² - 7x + 3 = 0\) :** On peut utiliser la formule discriminante (\(b^2 - 4ac\)) pour déterminer si l'équation admet des solutions réelles. Ici, \(a = 1\), \(b = -7\), et \(c = 3\). Le discriminant \(b^2 - 4ac\) est positif, donc l'équation a deux racines réelles distinctes. Cependant, cela ne garantit pas que ces racines sont entières.
4. **Polynômes de la forme \(P(x) = ax^2 + bx + 6\) avec deux racines entières dont l'une est 2 :**
- Les racines étant entières, si l'une est \(x = 2\), alors \(x - 2\) est un facteur du polynôme.
- Si \(x - 2\) est un facteur, alors le polynôme peut être écrit sous la forme \(P(x) = a(x - 2)(bx + c)\).
- Maintenant, pour avoir une autre racine entière, \(bx + c\) doit également être factorisable par un entier. Par exemple, si \(bx + c\) a une racine entière \(x = k\), alors \(k - \frac{c}{b}\) est aussi une racine du polynôme.
- En combinant ces conditions, vous pouvez déterminer les coefficients \(a\), \(b\), et \(c\) qui satisfont ces critères.
