Réponse :Pour résoudre ce problème, nous allons suivre les étapes demandées :
1. Formules dans le tableur :
B2 :
=
�
2
(
�
2
+
1
)
(
�
2
+
2
)
(
�
2
+
3
)
=A2(A2+1)(A2+2)(A2+3)
C2 :
=
�
2
−
2
=B2−2
D2 :
=
�
2
/
(
(
�
2
+
3
)
−
�
2
)
=C2/((A2+3)−A2)
Ces formules sont ensuite recopiées vers le bas pour les différentes lignes de notre tableur.
2. Calculs dans les cellules E2 à E8 :
Nous allons utiliser la formule
=
�
2
=D2 dans la cellule E2 et la recopier vers le bas jusqu'à E8. Les résultats obtenus seront :
E2 :
0
0
E3 :
1
1
E4 :
2
2
E5 :
3
3
E6 :
4
4
E7 :
5
5
E8 :
6
6
3. Formule pour la cellule E2 :
La formule pour la cellule E2 est simplement
=
�
2
=D2, et cette formule peut être recopiée vers le bas pour obtenir les résultats pour les différentes valeurs de
�
n.
4. Conjecture et démonstration :
La conjecture est que le résultat final est toujours
�
n, où
�
n est le premier entier choisi par Ilyan.
Démonstration :
La formule dans B2 (
=
�
2
(
�
2
+
1
)
(
�
2
+
2
)
(
�
2
+
3
)
=A2(A2+1)(A2+2)(A2+3)) représente le produit de quatre nombres consécutifs.
C2 (
=
�
2
−
2
=B2−2) soustrait 2 du produit.
D2 (
=
�
2
/
(
(
�
2
+
3
)
−
�
2
)
=C2/((A2+3)−A2)) divise le résultat par la différence entre le quatrième et le premier nombre consécutif.
Si nous simplifions D2, nous avons
�
2
=
(
�
2
−
2
)
/
(
�
2
+
3
−
�
2
)
=
(
�
2
(
�
2
+
1
)
(
�
2
+
2
)
(
�
2
+
3
)
−
2
)
/
4
D2=(B2−2)/(A2+3−A2)=(A2(A2+1)(A2+2)(A2+3)−2)/4, qui se simplifie simplement à
�
n.
Ainsi, la formule
=
�
2
=D2 dans le tableur donne toujours le résultat
�
n, qui est le premier entier choisi par Ilyan.
Explications étape par étape :
