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Exercice n° 2: Croissance d'un plant de maïs En biologie, un modèle proposé pour la croissance d'êtres vivants est le suivant tout individu de taille maximale M admet une vitesse de croissance proportionnelle à la taille manquante. Autrement dit, si on note C(t) la taille à l'instant t, cette fonction est solution de l'équation différentielle C '(t) = k(M-C(t))
1. Résoudre cette équation différentielle en supposant que C(0)=0
2. Vérifier que C est croissant et calculer sa limite en +l'infini.
3. Une espèce de maïs a une taille maximum de 180cm et met 15 jours pour atteindre la moitié de celle-ci. Au bout de combien de jours sera-t-elle a moins de 10cm de sa taille maximale ?


Répondre :

Réponse :

Explications étape par étape :

L'équation différentielle que vous avez fournie est une équation de croissance qui modélise la croissance d'un être vivant en fonction de sa taille actuelle par rapport à une taille maximale M . La croissance est proportionnelle à la taille manquante.

L'équation différentielle est donnée par :

C'(t) = k(M - C(t))

où :

-  C(t) est la taille de l'individu à l'instant  t ,

- C'(t)  est la dérivée première de C(t)  par rapport au temps  t ,

- k  est la constante de proportionnalité.

Cette équation différentielle est du type "équation logistique". Sa solution générale peut être obtenue en séparant les variables et en intégrant. La solution de cette équation différentielle est une fonction  C(t)  qui décrit comment la taille de l'individu évolue avec le temps.

Si vous avez des conditions initiales spécifiques (par exemple, la taille initiale C(0) , vous pouvez les utiliser pour résoudre l'équation et trouver la constante  k . La solution finale donnera la taille de l'individu à tout moment  t  en fonction des paramètres initiaux et de la taille maximale  M .