W Une balle en chute libre On a photographié, à intervalles de temps réguliers 0,02 seconde, la chute d'une balle de tennis. Le tableau ci-dessous fournit le relevé des mesures effectuées : d(r) est la distance (arrondie à 0,01 mètre) parcourue par la balle, secondes après l'avoir lâchée. 0,44 0,46 0,48 0,5 0,52 0,95 1,04 1,13 1,23 1,32 1,43 0,54 0,56 1,54 d(t) La vitesse moyenne de la balle est égale au quotient de la distance parcourue par le temps écoulé. t=0,48 ---- t=0,52 ---- 1 a. Montrer que la vitesse moyenne de la balle entre 0,5 s et 0,54 s est égale à 5 m.s¹. b. Montrer que la vitesse moyenne de la balle entre 0,5 s et 0,52 s est égale à 4,5 m-s-¹. 2 On admet que la distance d() parcourue par la balle en fonction du temps récoulé depuis le lâcher s'exprime par la formule d(t) = 4,91². Soit r la fonction définie pour tout réel h non nul par r(h) = d(0,5+h)-d(0,5) h a. Montrer que r(h) = 4,9h + 4,9. b. Calculer r(0,1) puis interpréter le résultat en termes de vitesse. c. Calculer r(0,01) puis r(0,001). On arrondira si nécessaire les résultats à 0,001. On constate que la vitesse moyenne de la balle entre 0,5 s et 0,5 + hs se rapproche de 4,9 m. s-¹ quand h se rapproche de 0. On dit que d(0,5+h)-d(0,5) h a pour limite 4,9 quand / tend vers 0 d(0,5+h)-d(0,5) et on note lim = 4,9. h→0 h Ce nombre est appelé nombre dérivé de d en 0,5 et on le note d'(0,5). Ainsi, d'(0,5) = 4,9. Cette valeur limite 4,9 est la vitesse instantanée en m.s-¹ de la balle à l'instant / = 0,5.​