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La transformation qui permet de passer de A'B'C'D' à A"B"C"D" est une symétrie axiale de centre O.
Pour démontrer cela, tracez la droite (O) passant par le centre O du carré et qui coupe les segments [A'B'], [B'C'], [C'D'] et [D'A'] en leur milieu respectif, notés respectivement I, J, K et L.
Maintenant, notons que pour tout point M sur le cercle circonscrit au carré ABCD, on a la relation : $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM}$.
Appliquons cette relation aux points A', B', C', D' et O. On obtient :
- Pour A' : $\overrightarrow{OA'} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AA'}$
- Pour B' : $\overrightarrow{OB'} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BB'}$
- Pour C' : $\overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CC'}$
- Pour D' : $\overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DD'}$
- Pour O : $\overrightarrow{OO} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AO}$
Or, les segments [AA'], [BB'], [CC'] et [DD'] sont perpendiculaires à (O). Donc, on a :
- $\overrightarrow{OA'} \perp (O)$
- $\overrightarrow{OB'} \perp (O)$
- $\overrightarrow{OC'} \perp (O)$
- $\overrightarrow{OD'} \perp (O)$
On peut maintenant en déduire que les segments [A'I], [B'J], [C'K] et [D'L] sont également perpendiculaires à (O), car chaque segment est la moitié de [AA'], [BB'], [CC'] et [DD'] respectivement.
Par conséquent, les quadrilatères OIA'D', OJB'A', OKB'C' et OLD'C' sont des rectangles.
Maintenant, observons les angles formés par les segments [A'I], [B'J], [C'K] et [D'L] :
- L'angle $\angle A'OI = \angle A' OI = \angle IOA = 90°$
- L'angle $\angle B'OJ = \angle B' OJ = \angle JOB = 90°$
- L'angle $\angle C'OK = \angle C' OK = \angle KOC = 90°$
- L'angle $\angle D'OL = \angle D' OL = \angle LOD = 90°$
Donc, les angles $\angle A'OI$, $\angle B'OJ$, $\angle C'OK$ et $\angle D'OL$ sont droits.
Cela signifie que les droites (A'O), (B'O), (C'O) et (D'O) sont perpendiculaires au segment [I'L'].
Ainsi, les droites (A'O), (B'O), (C'O) et (D'O) sont parallèles deux à deux, ce qui montre que les quadrilatères A'B'C'D' et A"B"C"D" sont des parallélogrammes.
Or, un parallélogramme peut être transformé en un autre parallélogramme équivalent par une symétrie axiale de centre O. Donc, les parallélogrammes A'B'C'D' et A"B"C"D" sont équivalents par une symétrie axiale de centre O.
En conclusion, A"B"C"D" est l'image de A'B'C'D' par une symétrie axiale de centre O.
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