Pour étudier le sens de variation des fonctions données, nous devons analyser le signe de leur dérivée première. Si la dérivée est positive, la fonction est croissante, si elle est négative, la fonction est décroissante.
1. f(x) = x² - 4x + 2
Pour trouver la dérivée de f(x), nous dérivons chaque terme séparément :
f'(x) = 2x - 4
La dérivée est une fonction linéaire, donc elle est positive pour tous les x. Cela signifie que la fonction f(x) est croissante sur l'ensemble des réels.
2. g(x) = x³ - 12x - 1/4
Pour trouver la dérivée de g(x), nous dérivons chaque terme séparément :
g'(x) = 3x² - 12
La dérivée est une fonction quadratique. Pour trouver les valeurs de x pour lesquelles la dérivée est positive ou négative, nous devons résoudre l'équation 3x² - 12 = 0 :
3x² = 12
x² = 4
x = ±2
En analysant les intervalles entre ces valeurs critiques, nous pouvons conclure que la fonction g(x) est décroissante de moins l'infini à -2, puis croissante de -2 à 2, et enfin décroissante de 2 à plus l'infini.
3. h(x) = 2x + 1 - 1/x - 3
Pour trouver la dérivée de h(x), nous dérivons chaque terme séparément :
h'(x) = 2 + 1/(x²)
La dérivée est une fonction constante positive, donc la fonction h(x) est croissante sur l'ensemble des réels.
En résumé :
1. La fonction f(x) = x² - 4x + 2 est croissante sur l'ensemble des réels.
2. La fonction g(x) = x³ - 12x - 1/4 est décroissante de moins l'infini à -2, puis croissante de -2 à 2, et enfin décroissante de 2 à plus l'infini.
3. La fonction h(x) = 2x + 1 - 1/x - 3 est croissante sur l'ensemble des réels.
