Réponse:
Bonjour
1- Pour vérifier si -1 est une racine de p(x), nous substituons simplement -1 à la place de x dans le polynôme p(x) et vérifions si le résultat est égal à zéro.
p(-1) = (-1)⁴ + 6(-1)³ + 11(-1)² + 6(-1)
= 1 - 6 + 11 - 6
= 0
Comme p(-1) est égal à zéro, cela signifie que -1 est une racine de p(x).
2- Pour effectuer la division euclidienne de p(x) par x+1, nous divisons p(x) par x+1 et trouvons le quotient et le reste.
x³ + 5x² + 6x + 6
_________________________
x+1 | x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x
- (x⁴ + x³)
_______________
5x³ + 11x² + 6x
- (5x³ + 5x²)
_______________
6x² + 6x
- (6x² + 6x)
_______________
0
Le quotient de la division euclidienne est x³ + 5x² + 6x + 6, et le reste est zéro.
3- À partir de la division euclidienne, nous pouvons voir que p(x) peut être exprimé comme le produit (x+1)(x³ + 5x² + 6x + 6). En factorisant davantage, nous avons :
p(x) = (x+1)(x³ + 5x² + 6x + 6)
= (x+1)(x²(x+1) + 5x + 6)
= (x+1)(x² + x + 6x + 6)
= (x+1)(x² + 5x + 6)
4a- Pour vérifier que x² + 5x + 6 = (x²-9) + 5 (x+3), nous devons effectuer la simplification.
(x²-9) + 5 (x+3) = x² - 9 +
