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FANNY7738EN
résolu

Bonjour,

MA.CB+MB.AC + MC.BA=0
(on pourra utiliser les relations: MB = MA + AB et MC = MA + AC).

Déduire des questions précédentes que: HC.BA= 0. Que peut-on dire de la droite (HC) ? Quelle propriété des hauteurs d'un triangle vient-on de prouver ?

Ici j ai tous compris , il faut remplacer H par M dans expression pour obtenir
HC.BA= 0 ( mais j aimerais voir les étapes de calculs pour être sur de mon résultat )

la propriété est : les hauteurs d un triangle sont concurrants en un point

mais je ne comprends pas : Que peut-on dire de la droite (HC) ?

pourriez-vous m expliquer ?
merci de votre précieuse aide ​

Répondre :

Réponse:

Pour commencer, on utilise les relations :

MB = MA + AB et MC = MA + AC

Alors :

MA.CB + MB.AC + MC.BA (+MB.BA) = MA.CB + (MA + AB).AC + (MA + AC).BA + MB.BA = MA.CB + 2MA.AB + 2MA.AC + AB.AC + MB.BA - MB.BA = 3MA.AB + 2MA.AC + AB.AC = 0 (vu que MA = 1)

HC.BA = 1/2 * HEB = 1/2 * HC.DE x BE.BH

Par la propriété des hauteurs d'un triangle, on a : HC.DE.BE.BH = 1

alors il vient :

HC.BA = 2.HC.DE x BE.BH = 0

En considérant la même propriété des hauteurs, on a :

1/2 * HC.DE x BE.BH x HEB = 1

alors :

HC.DE x BE.BH x HEB = 2

Donc HC x BE = 2DE x BE.BH x HE = 2 / HB^2

En prenant la droite (HC) :

HC^2 = (2 / HB)^2

alors

HC = 2 / HB

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