Réponse :
Explications étape par étape :
Calculer la limite de
�
f en 0:
lim
�
→
0
�
(
�
)
=
lim
�
→
0
2
�
�
+
1
�
�
−
1
lim
x→0
f(x)=lim
x→0
e
x
−1
2e
x
+1
En factorisant par
�
�
e
x
dans le numérateur et le dénominateur:
lim
�
→
0
2
�
�
+
1
�
�
−
1
=
lim
�
→
0
�
�
(
2
+
1
/
�
�
)
�
�
(
1
−
1
/
�
�
)
lim
x→0
e
x
−1
2e
x
+1
=lim
x→0
e
x
(1−1/e
x
)
e
x
(2+1/e
x
)
Simplifions:
lim
�
→
0
2
+
1
/
�
�
1
−
1
/
�
�
=
2
+
1
1
−
1
=
3
lim
x→0
1−1/e
x
2+1/e
x
=
1−1
2+1
=3
a. Montrer que, pour tout réel
�
x de
]
0
;
+
∞
[
]0;+∞[,
�
(
�
)
=
2
+
�
−
�
1
−
�
−
�
f(x)=
1−e
−x
2+e
−x
:
Déjà énoncé dans l'énoncé.
b. Calculer la limite de
�
f en
+
∞
+∞:
lim
�
→
+
∞
�
(
�
)
=
lim
�
→
+
∞
2
+
�
−
�
1
−
�
−
�
lim
x→+∞
f(x)=lim
x→+∞
1−e
−x
2+e
−x
Utilisons le fait que
�
−
�
e
−x
tend vers 0 lorsque
�
x tend vers
+
∞
+∞:
lim
�
→
+
∞
2
+
�
−
�
1
−
�
−
�
=
2
+
0
1
−
0
=
2
lim
x→+∞
1−e
−x
2+e
−x
=
1−0
2+0
=2
Justifier que la courbe
�
�
C
f
admet deux asymptotes dont on donnera les équations:
Les asymptotes verticales sont les valeurs de
�
x pour lesquelles le dénominateur s'annule, donc
1
−
�
−
�
=
0
1−e
−x
=0. Cela se produit lorsque
�
x tend vers
+
∞
+∞.
Les asymptotes horizontales sont les valeurs que la fonction atteint lorsque
�
x tend vers
+
∞
+∞ ou
−
∞
−∞. Nous avons déjà trouvé que la limite en
+
∞
+∞ est 2.
Donc, les asymptotes de
�
�
C
f
sont:
Verticale:
�
=
+
∞
x=+∞
Horizontale:
�
=
2
y=2
a. Calculer
�
′
(
�
)
f
′
(x) pour tout réel
�
x de
]
0
;
+
∞
[
]0;+∞[:
�
′
(
�
)
=
�
�
�
(
2
+
�
−
�
1
−
�
−
�
)
f
′
(x)=
dx
d
(
1−e
−x
2+e
−x
)
Utilisons la règle du quotient et la dérivation des termes individuels:
�
′
(
�
)
=
(
−
�
−
�
)
(
1
−
�
−
�
)
−
(
2
+
�
−
�
)
(
−
�
−
�
)
(
1
−
�
−
�
)
2
f
′
(x)=
(1−e
−x
)
2
(−e
−x
)(1−e
−x
)−(2+e
−x
)(−e
−x
)
Simplifions:
�
′
(
�
)
=
�
−
�
−
�
−
2
�
+
2
�
−
�
+
�
−
2
�
(
1
−
�
−
�
)
2
f
′
(x)=
(1−e
−x
)
2
e
−x
−e
−2x
+2e
−x
+e
−2x
�
′
(
�
)
=
3
�
−
�
+
2
�
−
2
�
(
1
−
�
−
�
)
2
f
′
(x)=
(1−e
−x
)
2
3e
−x
+2e
−2x
b. En déduire le sens de variation de
�
f:
�
′
(
�
)
=
3
�
−
�
+
2
�
−
2
�
(
1
−
�
−
�
)
2
f
′
(x)=
(1−e
−x
)
2
3e
−x
+2e
−2x
Le numérateur est toujours positif, et le dénominateur est toujours positif (car
�
−
�
e
−x
est toujours positif). Donc,
�
′
(
�
)
f
′
(x) est toujours positif. Cela signifie que la fonction
�
f est strictement croissante sur
]
0
;
+
∞
[
]0;+∞[.
c. Construire le tableau de variation de
�
f sur
]
0
;
+
∞
[
]0;+∞[:
�
�
′
(
�
)
�
(
�
)
0
+
3
Intervalle
(
0
,
+
∞
)
+
Croissante
x
0
Intervalle (0,+∞)
f
′
(x)
+
+
f(x)
3
Croissante
Exercice 2:
On tire une boule de l'urne. Quelle est la probabilité
�
p que cette boule soit rouge?
On suppose qu'il y a
�
R boules rouges et
�
N boules noires dans l'urne. Selon l'énoncé, il y a deux fois plus de boules rouges que de boules noires, donc
�
=
2
�
R=2N.
La probabilité de tirer une boule rouge est (p = \frac{R}{R