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Explications étape par étape :
Rappel:
1) si a < x <b si x est compris entre deux nombres positifs
alors a² < x² <b² (les inégalités ne changent pas de sens avec les nombres positifs)
2) si a < x <b si x est compris entre deux nombres négatifs
alors a² > x² > b² (les inégalités changent de sens avec les nombres négatifs)
3) si a < x <b si x est compris entre un nombre négatif et un nombre positif
alors 0 < x² < sup(a²; b²) (on met toujours 0 le plus petit nombre et l'autre nombre c'est le plus grand entre les deux carrés a² et b².
sup(a²; b²) c'est le plus grand nombre entre les deux carrés a² et b².
Maintenant on commence l'exercice.
on va encadrer chaque terme et après on fait la somme de ces termes
Donc, on encadre 4a² ; 4a; -b²; 2b
on encadre 4a²
-2 < a < -1 ici a est compris entre deux nombres négatifs donc
4 > a² >1 on peut écrire ceci comme suit 1 < a² < 4
donc 4*1 < 4*a² < 4*4
alors 4 < 4a² < 16
on encadre -b²
on -1 < b < 2 ici b est compris entre un nombre négatif et un nombre positif et 2² est supérieur à (-1)²
donc 0 < b² < 4
donc -4 < -b² < 0 (lorsqu'on change les signes on change le sens des inégalités)
on encadre 4a
on a -2 < a < -1
donc 4*(-2) < 4*a < 4*(-1)
donc -8 < 4a < -4
on encadre 2b
on a -1 < b < 2
donc 2*(-1) < 2*b < 2*2
donc -2 < 2b < 4
Maintenant on va faire la somme de ces différents encadrements qu'on trouvé:
4 < 4a² < 16
-8 < 4a < -4
-4 < -b² < 0
-2 < 2b < 4
alors 4 -8 -4 -2 < 4a² +4a -b² +2b < 16 -4 +0 +4
donc -10 < 4a² +4a -b² +2b < 16
puis on ajout (-3) dans chaque membre
alors -10 -3 < 4a² +4a -b² +2b -3 < 16 -3
donc -13 < 4a² +4a -b² +2b -3 < 13
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