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Réponse:
1.
a) pour tout entier n , on a :
v(n+1) = u(n+1) -6
= 0,5 *u(n) +3 - 6
= 0,5 *u(n) -3
= 0,5 * ( u(n) - 6 )
= 0,5 * v(n)
donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme v(0) = u(0) - 6 = 7 - 6 = 1
b. pour tout entier naturel on a :
v(n) = v(0)* (0,5)^n = (0,5)^n
or pour tout entier naturel on a
u(n) = v(n) + 6
donc u(n) = 0,5)^n + 6
c. on a u(8) = (0,5)^8 + 6 = environ 6,004
la suite (vn) tend vers 0 puisque sa raison est telle que 0<q<1
donc la suite (un) tend vers 6
2. la somme S est la somme des 101 premiers termes de la suite géométrique (vn)
donc S = v(0) * [( 1 - (0,5)^(101+1) / (1 - 0,5) ]
S = 1 * [( 1 - (0,5)^102 ] / 0,5
S = 2* ( 1 - (0,5)^102)
S = environ 2
or S' = S + 101 * 6
donc S' = environ ( 2 + 606 ) = environ 608
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