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Explications étape par étape:
1. Pour trouver le prix d'équilibre et la quantité associée, il faut trouver le point où l'offre et la demande sont égales.
Pour cela, on égalise les deux fonctions :
0,75x = 234 - 18x / 2x + 16
En simplifiant l'équation, on obtient :
0,75x = (234 - 18x) / (2x + 16)
En multipliant des deux côtés par (2x + 16), on a :
0,75x(2x + 16) = 234 - 18x
En développant et en simplifiant l'équation, on obtient une équation quadratique :
1,5x^2 + 12x - 18x - 234 = 0
1,5x^2 - 6x - 234 = 0
On peut résoudre cette équation en utilisant la méthode du discriminant pour trouver les valeurs de x.
Le discriminant (b^2 - 4ac) de cette équation est :
(-6)^2 - 4 * 1,5 * (-234) = 36 + 1404 = 1440
Comme le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles pour cette équation.
En utilisant la formule de la solution quadratique :
x = (-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a
On obtient les deux valeurs suivantes pour x :
x1 = (-(-6) + sqrt(1440)) / (2 * 1,5) ≈ 10,5
x2 = (-(-6) - sqrt(1440)) / (2 * 1,5) ≈ -8
Comme la quantité de cerises ne peut pas être négative, on exclut la valeur x2.
Donc, la quantité d'équilibre est d'environ 10 500 tonnes de cerises.
Pour trouver le prix d'équilibre, on substitue cette valeur de x dans l'une des fonctions :
K(x) = 0,75x
K(10,5) = 0,75 * 10,5 ≈ 7,875
Donc, le prix d'équilibre est d'environ 7,875 euros par kilogramme de cerises.
2. Pour trouver les quantités de cerises pour lesquelles l'offre est supérieure à la demande, il faut vérifier les valeurs de x pour lesquelles K(x) > M(x).
En substituant les fonctions K(x) et M(x) dans l'inéquation et en simplifiant, on obtient :
0,75x > (234 - 18x) / (2x + 16)
En multipliant des deux côtés par (2x + 16), on a :
0,75x(2x + 16) > 234 - 18x
En développant et en simplifiant l'inéquation, on obtient :
1,5x^2 + 12x > 234 - 18x
1,5x^2 + 30x - 234 > 0
On peut résoudre cette inéquation en utilisant la méthode du discriminant pour trouver les valeurs de x.
Le discriminant (b^2 - 4ac) de cette inéquation est :
30^2 - 4 * 1,5 * (-234) = 900 + 1404 = 2304
Comme le discriminant est positif, les solutions de cette inéquation sont les valeurs de x pour lesquelles :
x < (-30 - sqrt(2304)) / (2 * 1,5)
x > (-30 + sqrt(2304)) / (2 * 1,5)
x < (-30 - 48) / 3 = -26
x > (-30 + 48) / 3 = 6
Donc, pour les quantités de cerises inférieures à environ -26 000 tonnes et supérieures à environ 6 000 tonnes, l'offre est supérieure à la demande
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