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Réponse :
Explications étape par étape :
1. Fonction
�
(
�
)
=
�
2
f(x)=x
2
:
a) Pour déterminer
�
′
(
1
/
4
)
f
′
(1/4), calculons la dérivée de
�
(
�
)
f(x) par rapport à
�
x:
�
′
(
�
)
=
2
�
f
′
(x)=2x
En substituant
�
=
1
4
x=
4
1
, on obtient :
�
′
(
1
4
)
=
2
×
1
4
=
1
2
f
′
(
4
1
)=2×
4
1
=
2
1
b) Pour tracer la courbe
�
�
C
f
et la tangente
�
T à
�
�
C
f
au point d'abscisse
1
4
4
1
, on utilise le fait que la tangente à une courbe en un point donné a la même pente que la dérivée de la fonction à ce point.
2. Fonction
�
(
�
)
=
�
g(x)=
x
:
a) Pour déterminer
�
′
(
1
)
g
′
(1), calculons la dérivée de
�
(
�
)
g(x) par rapport à
�
x:
�
′
(
�
)
=
1
2
�
g
′
(x)=
2
x
1
En substituant
�
=
1
x=1, on obtient :
�
′
(
1
)
=
1
2
g
′
(1)=
2
1
b) Pour tracer la courbe
�
�
C
g
et la tangente
�
′
T
′
à
�
�
C
g
au point d'abscisse 1, utilisez le même principe que dans la première partie.
3. Propriété commune aux droites
�
T et
�
′
T
′
:
a) On remarque que
�
T et
�
′
T
′
ont la même pente, c'est-à-dire que
�
′
(
1
4
)
=
�
′
(
1
)
f
′
(
4
1
)=g
′
(1).
b) Cette propriété découle du fait que la tangente à une courbe en un point donné a une pente égale à la valeur de la dérivée de la fonction à ce point. La pente de
�
T est
�
′
(
1
4
)
f
′
(
4
1
) et la pente de
�
′
T
′
est
�
′
(
1
)
g
′
(1). Si ces deux valeurs sont égales, les deux tangentes ont la même pente. En d'autres termes, les tangentes sont parallèles.
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