Réponse :
Bonjour, quelqu'un peut m'aider pour cet exercice de 1ère spé maths svp merci beaucoup ! (voir pièce jointe).
g est définie sur [0 ; + ∞[ par g(x) = 4x² - x - √x
1) a) déterminer l'ensemble de dérivabilité D de g
D = ]0 ; + ∞[
b) montrer que, pour tout réel x de D; on a g '(x) = ((16x - 2)√x - 1)/2√x
g(x) = 4x² - x - √x
g est la somme d'un polynôme et d'une racine carrée est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et sa dérivée g ' est : g '(x) = 8x - 1 - 1/2√x
= (8x * 2√x - 2√x - 1)/2√x
= (16x√x - 2√x - 1)/2√x
= ((16x - 2)√x - 1)/2√x
c) justifier que, pour x ∈ D , g '(x) est du signe de (16x - 2)√x - 1
g '(x) = ((16x - 2)√x - 1)/2√x or 2√x > 0 car x ∈ D
donc le signe de g '(x) est du signe de (16x - 2)√x - 1
2) on pose pour x ∈ D, h(x) = (16x - 2)√x - 1
a) établir le tableau de variation de la fonction h
h est dérivable sur D et sa dérivée h' est h '(x) = (uv)' = u'v+v'u
u(x) = 16x - 2 ⇒ u'(x) = 16
v(x) = √x ⇒ v'(x) = 1/2√x
h '(x) = 16√x + (16x - 2) * 1/2√x
= (32x + 16x - 2)/2√x
= (48x - 2)/2√x
= 2(24x - 1)/2√x
= (24x - 1)/√x or √x > 0
Donc le signe de h '(x) est du signe de 24x - 1
x 0 1/24 + ∞
h '(x) - 0 +
h(x) -1 →→→→→→→→→→→ ≈ - 1.27→→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
h(1/24) = (16/24 - 2)√(1/24) - 1 = - 4/3)*2√6/24 - 1 = - √(6)/9 - 9/9 =
= (-√6 - 9)/9 ≈ - 1.27
b) calculer h(1/4); en déduire le tableau de signe de h
h(1/4) = (16*(1/4) - 2)√(1/4) - 1
= 2/2 - 1
= 0
x 0 1/4 + ∞
h(x) - 0 +
3) a) déduire de la question 2.b le signe de g'
puisque g '(x) = h(x)/2√x or 2√x > 0
donc le signe de g '(x) est du signe de h(x) déjà donné en 2.b
b) déterminer le minimum de g
le minimum de g est - 1/2
g(1/4) = 4*(1/4)² - 1/4 - √(1/4) = - 1/2
Explications étape par étape :