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Explications étape par étape :
a,b,c,m,l sont des réels
(x² - 7x + 1)(x - 4x² + 5) = 0 on sait qu'un produit est nul si l'un des facteur est nul donc nous cherchons quand f(x)=x - 4x² + 5=0 et g(x)=x² - 7x + 1=0 or f et g sont des polynôme du second degré :
donc il existe des solutions l , m tel que f(x)=a(x-l)(x-m) de même pour g
f)
on pose a = 1 b= -7 et c=1 donc le discriminant delta = b²-4ac=49-4=45>0 donc f admet 2 racines réels l et m avec :
l=[tex]\frac{-b-\sqrt{delata}}{2a}[/tex]=on pose a = 1 b= -7 et c=1 donc le discriminant delta = b²-4ac=49-4=45>0 donc f admet 2 racines réels l et m avec :
l=[tex]\frac{-b-\sqrt{delata}}{2a}[/tex]=[tex]\frac{7-\sqrt{45}}{2}[/tex]
m=[tex]\frac{-b+\sqrt{delata}}{2a}[/tex]=[tex]\frac{7+\sqrt{45}}{2}[/tex]
m=[tex]\frac{-b+\sqrt{delata}}{2a}[/tex]=
donc f=(x - [tex]\frac{7-\sqrt{45}}{2}[/tex])(x - [tex]\frac{7+\sqrt{45}}{2}[/tex])
g)
on pose a = -4 b= 1 et c=5 donc le discriminant delta = b²-4ac=1+80=81=9²>0 donc f admet 2 racines réels l et m avec :
l=[tex]\frac{-b-\sqrt{delata}}{2a}[/tex]=[tex]\frac{-1 -9}{-8}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}[/tex]
m=[tex]\frac{-b+\sqrt{delata}}{2a}[/tex]=[tex]\frac{-1 +9}{-8}=\frac{8}{-8}=-1[/tex]
donc g=-4(x - [tex]\frac{5}{4}[/tex])(x + 1)
CONCLUSION: résoudre R revient à résoudre
-4(x - [tex]\frac{7-\sqrt{45}}{2}[/tex])(x - [tex]\frac{7+\sqrt{45}}{2}[/tex])(x - [tex]\frac{5}{4}[/tex])(x + 1)=0 or -4 est ne s'annule jamais donc R a pour solutions { [tex]\frac{7-\sqrt{45}}{2}[/tex]; [tex]\frac{7+\sqrt{45}}{2}[/tex];[tex]\frac{5}{4}[/tex]; -1}
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