Réponse:
Voici la réponse :
Commençons par construire un arbre pour modéliser la situation :
1. **Arbre des probabilités :**
```
P(R) = 3/4
________|________
| |
P(A|R) = 9/10 P(~A|R) = 1/10
_______|______ _______|______
| | | |
P(M|A&R) P(~M|A&R) P(M|~A&R) P(~M|~A&R)
```
**Réponses aux questions :**
a) \(P(A \cap R) = P(R) \times P(A|R) = \frac{3}{4} \times \frac{9}{10} = \frac{27}{40}\)
b) \(P(A \cap \sim R) = P(R) \times P(\sim A | R) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{10} = \frac{3}{40}\)
c) \(P(\sim A \cap \sim R) = P(\sim R) \times P(\sim A | \sim R) = \frac{1}{4} \times \frac{2}{10} = \frac{1}{20}\)
d) \(P(A) = P(A \cap R) + P(A \cap \sim R) = \frac{27}{40} + \frac{3}{40} = \frac{3}{4}\)
e) \(P(R | \sim A) = \frac{P(\sim A \cap R)}{P(\sim A)} = \frac{3/40}{1/4} = \frac{3}{10}\)
f) \(P(M) = P(M \cap A \cap R) + P(M \cap \sim A \cap R) + P(M \cap A \cap \sim R) + P(M \cap \sim A \cap \sim R)\)
\(= P(R) \times P(A | R) \times P(M | A \cap R) + P(R) \times P(\sim A | R) \times P(M | \sim A \cap R)\)
\(+ P(\sim R) \times P(\sim A | \sim R) \times P(M | \sim A \cap \sim R)\)
\(+ P(\sim R) \times P(A | \sim R) \times P(M | A \cap \sim R)\)
\(= \frac{3}{4} \times \frac{9}{10} \times \frac{1}{10} + \frac{3}{4} \times \frac{1}{10} \times \frac{8}{10}\)
\(+ \frac{1}{4} \times \frac{2}{10} \times \frac{7}{10} + \frac{1}{4} \times \frac{8}{10} \times \frac{2}{10} = \frac{97}{200}\)
g) \(P(M | A) = \frac{P(M \cap A)}{P(A)} = \frac{\frac{27}{40}}{\frac{3}{4}} = \frac{9}{10}\)
h) \(P(M | \sim A) = \frac{P(M \cap \sim A)}{P(\sim A)} = \frac{\frac{3}{40}}{\frac{1}{4}} = \frac{3}{10}\)
i) \(P(A | M) = \frac{P(A \cap M)}{P(M)} = \frac{\frac{27}{40} \times \frac{9}{10}}{\frac{97}{200}} = \frac{54}{97}\)
j) \(P(A | \sim M) = \frac{P(A \cap \sim M)}{P(\sim M)} = \frac{\frac{3}{40} \times \frac{8}{10} + \frac{1}{20} \times \frac{2}{10}}{1 - P(M)}\)
\(= \frac{\frac{3}{25}}{1 - \frac{97}{200}} = \frac{24}{103}\)
2. **Indépendance :**
- Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
- Dans ce cas, montrons que \(A\) et \(M\) ne sont pas indépendants.
\(P(A \cap M) = P(R) \times P(A | R) \times P(M | A \cap R) + P(R) \times P(\sim A | R) \times P(M | \sim A \cap R)\)
\(= \frac{3}{4} \times \frac{9}{10} \times \frac{1}{10} + \frac{3}{4} \times \frac{1}{10} \times \frac{8}{10} = \frac{27}{200}\)
\(P(A) \times P(M) = \frac{3}{4} \times \frac{97}{200} = \frac{291}{400}\)
Les deux ne sont pas égaux, donc \(A\) et \(M\) ne sont pas indépendants.
3. **Conclure sur le mensonge et la réussite :**
- On ne peut pas conclure que mentir augmente les chances d'être reçu. Les probabilités conditionnelles montrent comment le mensonge est lié aux résultats, mais cela ne prouve pas une relation de cause à effet.
