Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser le théorème de Pythagore et examiner les propriétés des triangles rectangles.
**1. Calcul de BC en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle ABC:**
Le théorème de Pythagore s'exprime comme suit : \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
On substitue les valeurs connues :
\[BC^2 = 2.1^2 + 7.2^2\]
Calculons \(BC\) :
\[BC^2 = 4.41 + 51.84\]
\[BC^2 = 56.25\]
\[BC = \sqrt{56.25}\]
\[BC = 7.5 \, \text{cm}\]
Donc, la longueur de \(BC\) est de 7.5 cm.
**2. Calcul de DF en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle DEF:**
Le théorème de Pythagore pour le triangle DEF est \(DF^2 = DE^2 + EF^2\)
On substitue les valeurs connues :
\[DF^2 = 4.8^2 + 5^2\]
Calculons \(DF\) :
\[DF^2 = 23.04 + 25\]
\[DF^2 = 48.04\]
\[DF = \sqrt{48.04}\]
\[DF \approx 6.93 \, \text{cm}\]
Donc, la longueur de \(DF\) est d'environ 6.93 cm.
**3. Justification de la similarité des triangles ABC et DEF:**
Les triangles ABC et DEF sont semblables car ils sont tous les deux des triangles rectangles, et leurs angles correspondants sont égaux. En particulier, l'angle en A dans le triangle ABC est égal à l'angle en D dans le triangle DEF (étant donné qu'ils sont des angles droits).
De plus, les triangles ont deux paires de côtés proportionnels :
\[ \frac{AB}{DE} = \frac{2.1}{4.8} \]
\[ \frac{AC}{EF} = \frac{7.2}{5} \]
Par conséquent, selon le critère de similitude AA (Angle-Angle), les triangles ABC et DEF sont similaires.
