Répondre :
Réponse:
1. **Montrer que 2 est une racine de \(P(x)\):**
Remplacer \(x\) par \(2\) dans \(P(x)\) :
\[P(2) = 2(2)^3 + 4(2)^2 - 10(2) - 12 = 0\]
Donc, \(x = 2\) est une racine de \(P(x)\).
2. **Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x) = (x - 2) Q(x)\):**
Utiliser la division polynomiale ou la factorisation pour trouver \(Q(x)\). La division donne :
\[Q(x) = 2x^2 + 8x + 6\]
3. **Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \(2x^2 + 8x + 6 = (x - a)(ax + b)\):**
Comparer les termes des deux côtés et trouver \(a\) et \(b\). On obtient \(a = 2\) et \(b = 3\).
4. **Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(P(x) = 0\):**
Utiliser la racine déjà trouvée \(x = 2\) et factoriser \(P(x)\) :
\[P(x) = (x - 2)(2x + 3)(x + 2)\]
Les solutions sont \(x = 2, -\frac{3}{2}, -2\).
5. **En déduire les solutions de l'équation \(2x^6 + 4x^4 - 10x^2 - 12 = 0\):**
Factoriser l'équation en utilisant les solutions de \(P(x)\) :
\[2x^6 + 4x^4 - 10x^2 - 12 = 2(x - 2)(2x + 3)(x + 2)(x^2 + 2)\]
Les solutions sont \(x = 2, -\frac{3}{2}, -2, i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}\), où \(i\) est l'unité imaginaire.
Merci d'avoir visité notre site Web dédié à Mathématiques. Nous espérons que les informations partagées vous ont été utiles. N'hésitez pas à nous contacter si vous avez des questions ou besoin d'assistance. À bientôt, et pensez à ajouter ce site à vos favoris !