ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD] tel que : AB= 4cm et CD = 6cm I est le milieu de [AD] et J est le milieu de [BD] 1) Construire la figure 2) a- Montrer que (IJ) // (AB) b- En déduire que (IJ) // (CD) 3) calculer IJ 4) La droite (IJ) coupe (BC) en K Montrer que K est milieu de [BC] 5) Montrer que: AB+CD= 2IK

Question

Mathématiques

résolu

ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD] tel que : AB= 4cm et CD = 6cm I est le milieu de [AD] et J est le milieu de [BD] 1) Construire la figure 2) a- Montrer que (IJ) // (AB) b- En déduire que (IJ) // (CD) 3) calculer IJ 4) La droite (IJ) coupe (BC) en K Montrer que K est milieu de [BC] 5) Montrer que: AB+CD= 2IK

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2) a) Pour montrer que (IJ) est parallèle à (AB), on peut utiliser le théorème de Thalès. Puisque I et J sont les milieux respectifs de [AD] et [BD], alors les segments [IJ] et [AB] sont deux tiers des segments [AD] et [BD]. Donc, par le théorème de Thalès, on peut affirmer que (IJ) est parallèle à (AB).

b) Si (IJ) est parallèle à (AB) et que (AB) est parallèle à (CD) (car c'est un trapèze), alors, par transitivité, (IJ) est parallèle à (CD).

3) Pour calculer IJ, puisque I et J sont les milieux de [AD] et [BD] respectivement, IJ est égal à la moitié de BD (qui est égale à CD - AB). Donc, IJ = 1/2 * (CD - AB) = 1/2 * (6 - 4) = 1cm.

4) Pour montrer que K est le milieu de [BC], si (IJ) est parallèle à (AB) et (IJ) coupe (BC) en K, alors K est le milieu de [BC] d'après le théorème de Thalès car IJ est un segment reliant les milieux des côtés d'un triangle.

5) En utilisant le théorème de Thalès, on sait que IJ est parallèle à AB, donc IJ est un tiers de AB (car I est le milieu de AD). Donc, 2 * IJ = AB. De même, CD est égal à 2 * IK (car I est le milieu de BD). Par conséquent, AB + CD = 2 * IJ + 2 * IK = 2 * (IJ + IK). Puisque IJ + IK = BK (car K est le milieu de BC), alors AB + CD = 2 * BK. Cela montre que AB + CD est égal à 2 fois la longueur du segment BK.