Bonjour !
C'est une suite arithmético-géométrique, de la forme [tex]\sf x_{\sf n+1}=ax_n+b[/tex]
Méthode générale :
- Résoudre [tex]\sf l=al+b[/tex]
- Introduire une suite auxiliaire [tex]\sf V_n=x_n-l[/tex]
- Montrer que [tex]\sf (V_n)[/tex] est géométrique et determiner sa raison
- Calculer [tex]\sf V_n[/tex] en fonction de n (facile car géométrique)
- En déduire [tex]\sf x_n[/tex] en fonction de n.
Il suffit donc d'appliquer cette méthode !
On résout [tex]\sf l=3l+20[/tex] :
[tex]\sf l=3l+20\\\iff \sf -2l=20\\\iff \sf l=-10[/tex]
On pose [tex]\sf V_n=U_n-l[/tex].
Soit [tex]\sf V_n=U_n+10[/tex].
Montrons que [tex]\sf (V_n)[/tex] est géométrique.
[tex]\sf V_{n+1}=U_{n+1}+10\\\sf = 3U_n+20+10\\\sf = 3U_n+30\\\sf = 3(U_n+10)[/tex]
[tex]\sf V_{n+1}=3V_n[/tex]
Donc [tex]\sf (V_n)[/tex] est géométrique de raison 3.
Rappel :
Si [tex]\sf (a_n)_{n>0}[/tex] est une suite géométrique de raison q, alors on peut écrire [tex]\sf a_n=a_0\times q^n[/tex].
On a donc :
[tex]\sf V_n=V_0\times 3^n[/tex]
Or, [tex]\sf V_n=U_n+10[/tex].
Donc [tex]\sf V_0=U_0+10[/tex]
Soit [tex]\sf V_n=(U_0+10)\times 3^n[/tex]
On avait posé [tex]\sf V_n=U_n+10[/tex], soit [tex]\sf U_n=V_n-10[/tex]
D'où [tex]\boxed{\sf U_n=(U_0+10)\times 3^n-10}[/tex].
Bonne journée
