Réponse :
Explications étape par étape :
Soit à démontrer la propriété P(n) telle que pour tout entier naturel n :
wₙ₊₁ = 3(1 - 2ⁿ)
a) Initialisarion : w₁ = 2w₀ - 3 = 2 x 0 - 3 = -3
et 3( 1 - 2¹) = 3(1 - 2) = -3
La propriété P(n) est initiallisée.
b) Hérédité : On suppose qu'il existe un entier naturel n qualconque fixé tél que wₙ₊₁ = 3(1 - 2ⁿ) et on cherche à démontrer que wₙ₊₂ = 3(1 - 2ⁿ⁺¹)
wₙ₊₂ = 2wₙ₊₁ - 3
wₙ₊₂ = 2 x 3(1 - 2ⁿ) - 3
wₙ₊₂ = 3[2(1 - 2ⁿ) - 1]
wₙ₊₂ = 3(2 - 2ⁿ⁺¹ - 1)
wₙ₊₂ = 3(1 - 2ⁿ⁺¹)
La propriété P(n) est héréditaire.
c) Conclusion : La propriété P(n) est initialisée et héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ∈ N.
