Bonjour !
On va montrer que F est un sous espace vectoriel de (ℝ³,+,•).
Pour cela, on montre que :
- F est non vide
- [tex]\sf \forall (x,y) \in F^2, \forall (\lambda, \mu ) \in \mathbb{R}^2, \lambda x +\mu y \in F[/tex]
En effet, [tex]\sf (0,0,0)\in F\ car\ 0+0+0=0[/tex].
- Stabilité par combinaison linéaire
Soient :
[tex]\begin{cases}\sf (u,v,w)\in F \\\sf (u',v',w')\in F\\\sf \lambda, \mu \in \mathbb{R}\end{cases}[/tex]
[tex]\sf\lambda (u,v,w)+\mu (u',v',w')\\= (\underbrace{\lambda u + \mu u'}_U,\underbrace{\lambda v + \mu v'}_V,\underbrace{\lambda w + \mu w'}_W)[/tex]
[tex]\sf U+V+W\\= \lambda u + \mu u' +\lambda v+ \mu v' + \lambda w + \mu w'\\=\lambda (u+v+w) )+ \mu (u'+ v'+w')[/tex]
Or u+v+w=0 car [tex]\sf (u,v,w)\in F[/tex]
Et u'+v'+w'=0 car [tex]\sf (u',v',w')\in F[/tex]
[tex]\sf U+V+W\\= \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0\\=0[/tex]
Donc [tex]\sf (U,V,W)\in F[/tex].
F est un sous espace vectoriel de (ℝ³,+,•).
Bonne journée
