Bonjour ,
J'ose espérer que tu ne vas pas recopier sans comprendre ? !!
1)
ABCD a 4 angles droits : c'est donc un rectangle.
Mesure AB=mesure AD=1
Ce rectangle a 2côtés consécutifs égaux : c'est donc un carré.
2)
Aire AMB=base*hauteur/2
base de AMD=mesure AB=1
hauteur issue de M sur [AB] = abscisse de M=x
Aire AMB=x/2
------------
Base de BMC=mesure BC=1
hauteur de BMC issue de M=1-y
Aire BMC=(1-y)/2
---------------
Base de CMD=mesure CD=1
Hauteur issue de M sur [CD]=1-x
Aire CMD=(1-x)/2
--------------
Base de AMD=mesure AD=1
Hauteur issue de M sur [AD]=y
Aire AMD=y/2
3)
A(AMB) + A(CMD)=x/2+(1-x)/2=(x+1-x)/2=1/2
A(BMC)+A(AMD)=(1-y)/2+y/2=(1-y+y)/2=1/2
Donc :
A(AMB) + A(CMD)=A(BMC)+A(AMD)=1/2
4)
a)
M est sur la parabole d'équation y=x².
Donc :
A(AMD)=y/2=x²/2
A(CMD)=(1-x)/2
Donc :
A(AMD)+A(CMD)=(x²-x+1)/2
A(AMB)=x/2
A(BMC)=(1-y)/2=(1-x²)/2
Donc :
A(AMB)+A(BMC)=(-x²+x+1)/2
Donc :
A(AMD)+A(CMD)/A(AMD)+A(CMD)=[(x²-x+1)/2] / [(-x²+x+1)/2]
A(AMD)+A(CMD)/A(AMD)+A(CMD)=(x²-x+1) / (-x²+x+1)/2
A(AMD)+A(CMD)/A(AMD)+A(CMD)=f(x)/g(x)
b)
f(x)=x²-x+1
On développe ce qui est donné :
(x-1/2)²+3/4=x²-x+1/4+3/4=x²-x+4/4=x²-x+1=f(x)
(x-1/2)² est toujours positif ( ou nul si x=1/2) car c'est un carré et 3/4 aussi.
Donc f(x) toujours > 0 comme somme de termes positifs.
f(x)=(x-1/2)²+3/4
f(x)-3/4=(x-1/2)²
Comme (x-1/2) ≥ 0 et vaut zéro pour x=1/2, alors :
f(x)-3/4 ≥ 0 , soit :
f(x) ≥ 3/4.
Le minimum de f(x) est 3/4 et il est atteint pour x=1/2.
c)
g(x)=-x²+x+1
On développe ce qui est donné :
-(x-1/2)²+5/4=-(x²-x+1/4)+5/4=-x²+x-1/4+5/4=-x²+x+4/4=-x²+x+1=g(x)
Etude du signe de g(x) :
g(x)=-(x-1/2)²+5/4
On a la forme canonique de g(x) qui permet d'établir son tableau de variation ( si vu en cours) :
x--------->0...............1/2...............1
g(x)------>1/4....D.......0.....C........1/4
D=flèche vers le bas et C=flèche vers le haut.
D'après ce tableau :
g(x) ≥ 0 sur [0;1]
------------
On peut écrire : :
g(x)=5/4-(x-1/2)²
Soit :
g(x)-5/4=-(x-1/2)²
(x-1/2)² est toujours positif ( ou nul si x=1/2) car c'est un carré .
Donc :
-(x-1/2)² est toujours négatif ( ou nul si x=1/2).
Donc :
g(x)-5/4 est toujours négatif ( ou nul si x=1/2).
Donc :
g(x)-5/4 ≤ 0
soit :
g(x) ≤ 5/4
Qui prouve que g(x) passe par un maximum égal à 5/4 atteint pour x=1/2.
d)
f(x) est minimum pour x=1/2 et g(x) est maximum pour x=1/2.
La fraction f(x)/g(x) est donc minimale pour x=1/2 car son numérateur est minimal et son dénominateur maximal.
Car :
Plus le numérateur est petit , plus la valeur de la fraction est petite.
Plus le dénominateur est grand , plus la valeur de la fraction est petite.
M est sur la parabole y=x².
Donc x=1/2 donne y=1/4.
Il faut donc M(1/2;1/4) .
e)
Voir pièce jointe.
