Bonjour,
[tex] \\ [/tex]
Nous allons ici voir comment passer de la forme algébrique d'un nombre complexe à ses formes trigonométrique et exponentielle. Pour illustrer les explications qui vont suivre, nous prendrons l'exemple du nombre complexe z = 1 + i.
[tex] \\ \\ [/tex]
Forme algébrique d'un nombre complexe
[tex] \\ [/tex]
[tex] \sf z = a + ib[/tex]
Où a est la partie réelle du nombre complexe, et b sa partie imaginaire. Dans notre cas, a = 1 et b = 1.
[tex] \\ \\ [/tex]
Forme trigonométrique d'un nombre complexe
[tex] \\ [/tex]
[tex] \sf z = r[cos(\theta) + isin(\theta)][/tex]
Avec:
- r, aussi noté |z|, qui est le module de z et que l'on peut calculer de la façon suivante:
[tex] \sf r= |z| = \sqrt{x^2 + y^2} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
- θ, aussi noté Arg(z), qui est l'argument de z et qu'on l'on peut obtenir à partir des calculs suivants:
[tex] \sf - \: Si \: sin(\theta) \geqslant 0, \: alors \: \theta = Arg(z) = \sf arcos(\dfrac{a}{r}).[/tex] [tex] \sf - \: Si \: sin(\theta) < 0,\: alors \: \theta = Arg(z) = \sf - arcos(\dfrac{a}{r}).[/tex]
[tex] \\ \\ [/tex]
Forme exponentielle d'un nombre complexe
[tex] \\ [/tex]
[tex] \sf z = re^{i \theta } [/tex]
Toujours avec:
• r, le module de z.
• θ, l'argument de z.
[tex] \\ \\ [/tex]
Résolution de l'exercice
[tex] \\ [/tex]
1) FORME TRIGONOMÉTRIQUE.
La première étape pour trouver la forme trigonométrique de notre complexe consiste à déterminer r, le module de z.
[tex] \sf r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \boxed{\sf \sqrt{2}} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
La deuxième étape consiste à trouver θ, l'argument de z.
Pour cela, on doit obtenir la forme suivante:
[tex] \diamond \: \sf z = r [\underbrace{\sf\dfrac{a}{r}}_{\sf cos(\theta)}+ i\underbrace{\sf \dfrac{b}{r}}_{\sf sin(\theta)}]. [/tex]
On pourra d'une certaine manière, dire que l'on factorise par r.
[tex] \sf 1 + i = \sqrt{2}[\underbrace{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}_{cos(\theta)} + \underbrace{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}_{sin(\theta)} i] = \sqrt{2} [\underbrace{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}_{\sf cos(\theta)} + \underbrace{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}_{sin(\theta)}i] [/tex]
[tex] \\ [/tex]
Ensuite, on prête attention au signe de sin(θ).
[tex] \sf \acute{E}tant \: donn\acute{e} \: que \: sin(\theta) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} > 0, \theta = arcos(\dfrac{a}{r}) = arcos(\dfrac{\sqrt{2}}{2}) = \boxed{\sf \dfrac{\pi}{4}} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
Par conséquent, la forme trigonométrique de 1 + i est:
[tex] \boxed{\boxed{\sf 1 + i = \sqrt{2} \bigg[cos(\dfrac{\pi}{4}) + isin(\dfrac{\pi}{4}) \bigg]}}[/tex]
[tex] \\ \\ [/tex]
2) FORME EXPONENTIELLE
Reprenons les données que nous avons obtenues précédemment et déterminons la forme exponentielle de notre nombre complexe.
[tex] \large{\boxed{\sf Donn\acute{e}es \text{:} } \begin{cases} \sf r &=\sf \sqrt{2} \\ \\ \sf \theta &=\sf \dfrac{\pi}{4}\\ \end{cases}} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
Nous obtenons alors:
[tex] \boxed{\boxed{\sf 1 + i = \sqrt{2}e^{i\dfrac{\pi}{4}} }} [/tex]
