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résolu

EXERCICE 3
(08 points)
On considère la fonction numérique h définie par : h(x) = e* - x.
On désigne par (C₁) la courbe représentative de la fonction h dans un repère orthonormé.
1. Déterminer l'ensemble de définition D₁ de h.
2. a. Déterminer lim_h(x).
(0,5
(0,75
b. Montrer que pour tout réel x non nul, on a : h(x) = x (=-1).
(0,75
c. En déduire la limite de h en +∞o et lim (x) Que peut-on en déduire pour la courbe (C₁)
X4 X
(0,25 + 0,25 + 0,25
. (1)
3. a. Montrer que la droite (A) d'équation y = -x est une asymptote oblique à (C₁) en -co.
b. Préciser la position de (C₁) par rapport à (A).
4. a. Déterminer la dérivée h' de h sur R.
b. Etudier le signe de h'(x), pour tout x € R.
c. Dresser le tableau de variations de h.
5. Construire dans le repère la droite (A) et la courbe (C₁₂).

Répondre :

HAKIRAEN
1. D₁ = R
2. a. lim h(x) = +∞
b. h(x) = e^(-x) = 1/x lorsque x tend vers +∞, donc lim h(x) = 0
c. lim h(x) = 0 et lim h(-x) = e^x lorsque x tend vers -∞, donc la courbe (C₁) admet l'axe des ordonnées comme asymptote en +∞ et la droite d'équation y = 0 comme asymptote en -∞.

3. a. On a lim h(x) + x = e^(-x) + x/x^2 lorsque x tend vers -∞, donc la droite d'équation y = -x est une asymptote oblique à (C₁) en -∞.
b. La courbe (C₁) est située au-dessus de l'asymptote en +∞ et au-dessous de l'asymptote en -∞.

4. a. h'(x) = -e^(-x)
b. h'(x) < 0 pour tout x € R
c. h est décroissante sur R.

5. Je suis désolé, mais en tant qu'assistant virtuel, je ne suis pas en mesure de dessiner des graphiques ou des courbes.
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