Suite de Fibonacci:
La suite de Fibonacci est l'une des suites mathématiques les plus connues. Elle doit son nom au mathématicien
italien Leonardo Pisano, plus connu sous le pseudonyme de Fibonacci (1175 - 1250). Dans un problème
récréatif posé dans un de ses ouvrages Fibonacci décrit la croissance d'une population de lapins:
«Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on en douze mois si chaque couple
engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ? >>
Ce qui donne la relation de récurrence:F2=Fal+ Fa
[F₁=F₂=1
a) Calculer les 10 premiers termes de la suite de Fibonacci.
b) On considère la suite (G₂) telle que G₁-F¹. Calculer les 9 premiers termes de la suite (G₂).
c) En utilisant la définition de la suite F, déterminer l'expression de G₂+ en fonction de G₂-
d) Résoudre l'équation-x-1=0. On appellera o la plus grande des racines.
e) Représenter graphiquement la suite (G₂).
f) Vers quel nombre semble « converger » les nombres de la suite (G₂) (vérifier graphiquement).
g) On définit la suite (B₂) telle que: B₂
-;n> 1. Vérifier que B₁ = F₁, B2=F2, B3=F3.
DM
_9²-(1-0)²
√√5
On admettra que la suite (B₂) est égale à la suite (F₂). Ainsi, (F₂), suite définie par récurrence, est
connue par une formule explicite donnée par la suite (B₂). Cette formule est appelée formule de Binet.