On considère le trapèze
isocèle ABCD ci-contre, avec AB = AD = BC = 1. H est le projeté orthogonal de A sur [CD].
On note a la mesure de l'angle
ADC. On veut déterminer la valeur de alpha telle que l'aire de ce trapèze soit maximale.
1. Déterminer la hauteur AH du trapèze en fonction de alpha
2. Montrer que l'aire A du trapèze est définie, pour alpha dans
l'intervalle ]0; pie/2[ par A(alpha)=sin alpha (1 + cos alpha)
3. Montrer que la dérivée A' de la fonction A est définie par :
A'(alpha)= 2 cos^2alpha+ cos alpha - 1.
4. a. Factoriser le polynôme 2X2 + X - 1.
b. En déduire une factorisation de A’(alpha).
5. Étudier le signe de A'(alpha) suivant les valeurs de alpha et dresser le tableau de variation de A.
6. Conclure.