Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
Initialisation
U1 = 0,2 X 5 + 3 = 4
4 < 5 donc U1 < U0
La propriété est vraie au rang 0
Hérédité
Un+1 = 0,2Un + 3
soit f(Un) = 0,2 Un +3
fonction affine avec a=0,2 >0 donc f est croissante
hypothèse de récurrence la suite (Un) est décroissante
soit Un+1 < Un
comme f est croissante
f(Un+1) < f(Un)
soit Un+2 < Un+1
Donc si Un+1 < Un alors Un+2 < Un+1
L'hérédité est vérifiée
La propriété est héréditaire et vraie au rang 0, elle est donc vraie pour tout entier naturel
La suite (Un) est donc décroissante sur N
