Bonsoir,
On a A(4 ; 3) ; B(-1 ; -2) ; C(-2 ; 3)
Donc A'(-3/2 ; 1/2) ; B'(1 ; 3) ; C'(3/2 ; 1/2)
Conjecture : les 3 points sont alignés.
a) Si GA+GB+GC = 0 alors
3xG = xA + xB + xC = 4 - 1 - 2 = 1 d'où xG = 1/3
3yG = yA + yB + yC = 3 - 2 + 3 = 4 d'où yG = 4/3
G(1/3 ; 4/3)
b) (CH) ⊥ (AB) d'où CH.AB = 0 (produit scalaire)
Or CH(xH +2 ; yH - 3) et AB(-5 ; -5)
D'où (xH + 2) + (yH-3) = 0 soit xH + yH = 1
idem pour AH et BC
On a AH(xH - 4 ; yH - 3) et BC(-1 ; 5)
Soit xH - 4 = 5yH - 15
⇔ 1 - yH - 4 = 5yH - 15
⇔ 6 yH = 12
⇔ yH = 2
D'où xH = -1
H(-1 ; 2)
c) I est le point d'intersection des médiatrices du triangle soit
(IA') ⊥ (BC) et (IB') ⊥ (AC)
A'I(xI + 3/2 ; yI - 1/2) ; BC(-1 ; 5) ; B'I(xI -1 ; yI - 3) ; AC(-6 ; 0)
On a xI + 3/2 = 5 yI - 5/2 et xI = 1
Soit xI = 1 et yI = 1
I(1 ;1)
d)
On a G(1/3 ; 4/3) ; H(-1 ; 2) et I(1 ;1)
D'où IG(-2/3 ; 1/3) IH(2 ; -1)
On note que IH = -3 IG
I, G et H sont donc alignés
