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Bonjour,
[tex]\frac{f( x) -f( 0)}{0} =x^{2} sin\left(\frac{1}{x}\right) \leqslant x^{2}\underset{x\rightarrow 0}{\rightarrow } 0[/tex]
La fonction est donc dérivable pour tout réel en posant f'(0)=0 (En tant que composée et produit de fonctions dérivables)
Et [tex]f'(x)=x\left( 3xsin\left(\frac{1}{x}\right) -cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)[/tex]
Ensuite [tex]\frac{f'( x) -f'( 0)}{x} =3xsin\left(\frac{1}{x}\right)\underbrace{-cos\left(\frac{1}{x}\right)}_{ne\ converge\ pas\ en\ 0}[/tex].
Donc f n'est pas dérivable deux fois en 0.
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