Réponse :
f(x) = 4 x²/(4 + x⁴)
1) justifier que f est définie sur R
4 + x⁴ = 2² + (x²)² > 0 , ∀ x ∈ R car la somme de deux carrés est toujours positive
donc Df = R
2) f est une fonction quotient dérivable sur Df est sa dérivée f '
est : f '(x) = (8 x(4 + x⁴) - 4 x³ * 4 x²)/(4 + x⁴)²
= (32 x + 8 x⁵ - 16 x⁵)/(4 + x⁴)²
= (32 x - 8 x⁵)/(4 + x⁴)²
2) démontrer que, pour tout réel x, f '(x) = 8 x(2 - x²)(2 + x²)/(4 + x⁴)²
f '(x) = (32 x - 8 x⁵)/(4 + x⁴)²
= 8 x(4 - x⁴)/(4 + x⁴)²
= 8 x(2² - (x²)²)/(4 + x⁴)²
f '(x) = 8 x(2 - x²)(2 + x²)/(4 + x⁴)²
4) en déduire le tableau de variations de f sur R
f '(x) = 8 x(2 - x²)(2 + x²)/(4 + x⁴)² or 2 + x² > 0 et (4 + x⁴)² > 0
donc le signe de f '(x) dépend du signe de 8 x(2 - x²)
x - ∞ - √2 0 √2 + ∞
8 x - - 0 + +
2 - x² - 0 + + 0 -
f '(x) + 0 - 0 + 0 -
variation 0→→→→→→→ 1 →→→→→→→→0→→→→→→→→→ 1 →→→→→→→→→→ 0
de f(x) croissante décroissante croissante décroissante
Explications étape par étape :
